Đề bài
Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:
a) (y = {rm{A}}sin left( {omega x + varphi } right)) với A > 0;
b) (y = {rm{A}}tan left( {omega x + varphi } right)) với A > 0;
c) (y = 3sin 2x + 3cos 2x);
d) (y = 3sin left( {2x + frac{pi }{6}} right) + 3sin left( {2x - frac{pi }{3}} right)).
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: (D = mathbb{R}).
Nếu kí hiệu (f(x) = {rm{A}}sin left( {omega x + varphi } right)) thì với mọi (x in D), ta có
(x + frac{pi }{omega } in D,,,x - frac{pi }{omega } in D) và
(fleft( {x + frac{{2pi }}{omega }} right) = Asin left( {omega left( {x + frac{{2pi }}{omega }} right) + varphi } right) = Asin left( {omega x + 2pi + varphi } right) = Asin left( {omega x + varphi } right) = f(x))
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Chu kì của hàm số này là (frac{{2pi }}{omega }).
b) Nếu kí hiệu D là tập xác định của hàm số (f(x) = {rm{A}}tan left( {omega x + varphi } right)) thì với mọi (x in D), ta có
(x + frac{pi }{omega } in D,,,x - frac{pi }{omega } in D) và
(fleft( {x + frac{pi }{omega }} right) = Atan left( {omega left( {x + frac{pi }{omega }} right) + varphi } right) = Atan left( {omega x + pi + varphi } right) = Atan left( {omega x + varphi } right) = f(x))
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Chu kì của hàm số này là (frac{pi }{omega }).
c) Ta có (y = 3sin 2x + 3cos 2x = 3(sin 2x + cos 2x) = 3sqrt 2 sin left( {2x + frac{pi }{4}} right))
Theo như câu a, hàm số (y = 3sin 2x + 3cos 2x) là hàm số tuần hoàn có chu kì (pi ).
d) Ta có:
(begin{array}{l}y = 3sin left( {2x + frac{pi }{6}} right) + 3sin left( {2x - frac{pi }{3}} right) = 3left( {sin left( {2x + frac{pi }{6}} right) + sin left( {2x - frac{pi }{3}} right)} right),,,,, = 3left( {2sin left( {frac{{left( {2x + frac{pi }{6}} right) + left( {2x - frac{pi }{3}} right)}}{2}} right)cos left( {frac{{left( {2x + frac{pi }{6}} right) - left( {2x - frac{pi }{3}} right)}}{2}} right)} right),,,,, = 3.2sin left( {2x - frac{pi }{{12}}} right)cos frac{pi }{4} = 6sin left( {2x - frac{pi }{{12}}} right).frac{{sqrt 2 }}{2} = 3sqrt 2 sin left( {2x - frac{pi }{{12}}} right).end{array})
Theo như câu a, hàm số (y = 3sin left( {2x + frac{pi }{6}} right) + 3sin left( {2x - frac{pi }{3}} right)) là hàm số tuần hoàn có chu kì (pi ).
