Giải bài 1.19 trang 18 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) (y = {rm{A}}sin left( {omega x + varphi } right)) với A > 0;

b) (y = {rm{A}}tan left( {omega x + varphi } right)) với A > 0;

c) (y = 3sin 2x + 3cos 2x);

d) (y = 3sin left( {2x + frac{pi }{6}} right) + 3sin left( {2x - frac{pi }{3}} right)).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: (D = mathbb{R}).

Nếu kí hiệu (f(x) = {rm{A}}sin left( {omega x + varphi } right)) thì với mọi (x in D), ta có

(x + frac{pi }{omega } in D,,,x - frac{pi }{omega } in D) và

(fleft( {x + frac{{2pi }}{omega }} right) = Asin left( {omega left( {x + frac{{2pi }}{omega }} right) + varphi } right) = Asin left( {omega x + 2pi + varphi } right) = Asin left( {omega x + varphi } right) = f(x))

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Chu kì của hàm số này là (frac{{2pi }}{omega }).

b) Nếu kí hiệu D là tập xác định của hàm số (f(x) = {rm{A}}tan left( {omega x + varphi } right)) thì với mọi (x in D), ta có

(x + frac{pi }{omega } in D,,,x - frac{pi }{omega } in D) và

(fleft( {x + frac{pi }{omega }} right) = Atan left( {omega left( {x + frac{pi }{omega }} right) + varphi } right) = Atan left( {omega x + pi + varphi } right) = Atan left( {omega x + varphi } right) = f(x))

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Chu kì của hàm số này là (frac{pi }{omega }).

c) Ta có (y = 3sin 2x + 3cos 2x = 3(sin 2x + cos 2x) = 3sqrt 2 sin left( {2x + frac{pi }{4}} right))

Theo như câu a, hàm số (y = 3sin 2x + 3cos 2x) là hàm số tuần hoàn có chu kì (pi ).

d) Ta có:

(begin{array}{l}y = 3sin left( {2x + frac{pi }{6}} right) + 3sin left( {2x - frac{pi }{3}} right) = 3left( {sin left( {2x + frac{pi }{6}} right) + sin left( {2x - frac{pi }{3}} right)} right),,,,, = 3left( {2sin left( {frac{{left( {2x + frac{pi }{6}} right) + left( {2x - frac{pi }{3}} right)}}{2}} right)cos left( {frac{{left( {2x + frac{pi }{6}} right) - left( {2x - frac{pi }{3}} right)}}{2}} right)} right),,,,, = 3.2sin left( {2x - frac{pi }{{12}}} right)cos frac{pi }{4} = 6sin left( {2x - frac{pi }{{12}}} right).frac{{sqrt 2 }}{2} = 3sqrt 2 sin left( {2x - frac{pi }{{12}}} right).end{array})

Theo như câu a, hàm số (y = 3sin left( {2x + frac{pi }{6}} right) + 3sin left( {2x - frac{pi }{3}} right)) là hàm số tuần hoàn có chu kì (pi ).