Vectơ chỉ phương của đường phẳng: Vectơ (vec{u},,ne,,vec{0}) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (Delta ) nếu giá của (vec{u}) song song hoặc trùng với (Delta .)
Chú ý:
- Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương
- Nếu (vec{u}) là một vectơ chỉ phương của (Delta ) thì (k.vec{u}) (với (k) là một số khác (0) ) cũng là một vectơ chỉ phương của (Delta .)
Định nghĩa: Trong không gian (Oxyz,) cho đường thẳng (Delta ) đi qua điểm (Aleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)) và có vectơ chỉ phương (vec{u},,=left(a;b;cright)text{.})
Hệ phương trình (left{ begin{align} & x={{x}_{0}}+at & y={{y}_{0}}+bt & z={{z}_{0}}+ct end{align} right.) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng (Delta ) ((t) là tham số, (tin mathbb{R}) ).
Chú ý:
- Với các số (a,b,c) không đồng thời bằng (0) thì hệ phương trình (left{ begin{align} & x={{x}_{0}}+at & y={{y}_{0}}+bt & z={{z}_{0}}+ct end{align} right.,,,,left( tin mathbb{R} right)) xác định một đường thẳng đi qua (Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)) và có vectơ chỉ phương là (vec{u},,=left(a;b;cright).)
- Từ phương trình tham số của đường thẳng, mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng đó và ngược lại.
Trong không gian (Oxyz,) cho đường thẳng (Delta ) đi qua điểm (Aleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)) và có vectơ chỉ phương (vec{u},,=left(a;b;cright)) với (a,b,c) là các số khác (0.)
Hệ phương trình: (frac{x-{{x}_{0}}}{a}=frac{y-{{y}_{0}}}{b}=frac{z-{{z}_{0}}}{c}) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng (Delta .)
- Trong không (Oxyz,) cho hai điểm phân biệt ({{A}_{1}}left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} right)) và ({{A}_{2}}left({{x}_{2}};{{y}_{2}};{{z}_{2}}right)text{.}) Đường thẳng ({{A}_{1}}{{A}_{2}}) có vectơ chỉ phương (overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};{{y}_{2}}-{{y}_{1}};{{z}_{2}}-{{z}_{1}} right).)
- Đường thẳng ({{A}_{1}}{{A}_{2}}) có phương trình tham số là (left{ begin{align} & x={{x}_{1}}+left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} right)t & y={{y}_{1}}+left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} right)t & z={{z}_{1}}+left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} right)t end{align} right.,,left( tin mathbb{R} right).)
- Trong trường hợp ({{x}_{1}}ne {{x}_{2}}) , ({{y}_{1}}ne {{y}_{2}}) , ({{z}_{1}}ne {{z}_{2}}) thì đường thẳng ({{A}_{1}}{{A}_{2}}) có phương trình chính tắc là: (frac{x-{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=frac{y-{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}=frac{z-{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}.)
Trong không gian (Oxyz,) cho hai đường thẳng ({{Delta}_{1}},{{Delta}_{2}}) tương ứng có các vectơ chỉ phương ({{vec{u}}_{1}}=left({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}}right),{{vec{u}}_{2}}=left({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}}right)text{.}) Khi đó ({{Delta }_{1}}bot {{Delta }_{2}}Leftrightarrow {{vec{u}}_{1}}.{{vec{u}}_{2}}=0Leftrightarrow {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}=0.)
Trong không gian (Oxyz) cho hai đường thẳng ({{Delta }_{1}}) , ({{Delta }_{2}}) lần lượt đi qua các điểm ({{A}_{1}}left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} right)) ,({{A}_{2}}left( {{x}_{2}};{{y}_{2}};{{z}_{2}} right)) và tương ứng có vectơ chỉ phương ({{vec{u}}_{1}}=left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} right)) , ({{vec{u}}_{2}}=left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} right)) . Khi đó:
- ({{Delta }_{1}}parallel {{Delta }_{2}}Leftrightarrow {{vec{u}}_{1}}) cùng phương với ({{vec{u}}_{2}}) và ({{A}_{1}}notin {{Delta }_{2}}.)
- ({{Delta }_{1}}equiv {{Delta }_{2}}Leftrightarrow {{vec{u}}_{1}}) cùng phương với ({{vec{u}}_{2}}) và ({{A}_{1}}in {{Delta }_{2}}.)
- ({{Delta }_{1}}) và ({{Delta }_{2}}) cắt nhau (Leftrightarrowleft{begin{align} & left[{{{vec{u}}}_{1}},{{{vec{u}}}_{2}}right]ne,,vec{0} & overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}botleft[{{{vec{u}}}_{1}},{{{vec{u}}}_{2}}right]end{align}right.Leftrightarrowleft{begin{align} & left[{{{vec{u}}}_{1}},{{{vec{u}}}_{2}}right]ne,,vec{0} & overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}cdotleft[{{{vec{u}}}_{1}},{{{vec{u}}}_{2}}right]=0.end{align}right.)
- ({{Delta }_{1}}) và ({{Delta }_{2}}) chéo nhau (Leftrightarrow overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}.left[ {{{vec{u}}}_{1}},{{{vec{u}}}_{2}} right]ne 0.)
Chú ý:
- ({{Delta }_{1}}parallel {{Delta }_{2}}Leftrightarrow {{vec{u}}_{1}}) cùng phương với ({{vec{u}}_{2}}) và hệ (left( * right)) vô nghiệm.
- ({{Delta }_{1}}equiv {{Delta }_{2}}Leftrightarrow ) Hệ (left( * right)) có vô số nghiệm.
- ({{Delta }_{1}}) cắt ({{Delta }_{2}}Leftrightarrow ) Hệ (left( * right)) có nghiệm duy nhất.
- ({{Delta }_{1}}) và ({{Delta }_{2}}) chéo nhau (Leftrightarrow {{vec{u}}_{1}}) và ({{vec{u}}_{2}}) không cùng phương và hệ (left( * right)) vô nghiệm.
Góc giữa hai đường thẳng:
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ({{Delta }_{1}},{{Delta }_{2}}) tương ứng có ({{vec{u}}_{1}}=left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} right)) và ({{vec{u}}_{2}}=left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} right)) là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:
(cos left( {{Delta }_{1}},{{Delta }_{2}} right)=left| cos left( {{{vec{u}}}_{1}}.{{{vec{u}}}_{2}} right) right|=frac{left| {{{vec{u}}}_{1}}.{{{vec{u}}}_{2}} right|}{left| {{{vec{u}}}_{1}} right|.left| {{{vec{u}}}_{2}} right|}=frac{left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}} right|}{sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}.sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}})
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (Delta ) có vectơ chỉ phương (vec{u}=left( a;b;c right)) và mặt phẳng (left( P right)) có vectơ pháp tuyến (,vec{n}=left( A;,B;,C right)) . Khi đó, ta có:
(sin left( Delta ,left( P right) right)=left| cos left( vec{u}.,vec{n} right) right|=frac{left| vec{u}.,vec{n} right|}{left| {vec{u}} right|.left| ,vec{n} right|}=frac{left| aA+bB+cC right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}})
Góc giữa hai mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (left( {{P}_{1}} right),left( {{P}_{2}} right)) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là(,{{vec{n}}_{1}}=left( {{A}_{1}};,{{B}_{1}};,{{C}_{1}} right)) và ({{vec{n}}_{2}}=left( {{A}_{2}};,{{B}_{2}};,{{C}_{2}} right)). Khi đó, ta có:
(cos left( left( {{P}_{1}} right),left( {{P}_{2}} right) right)=left| cos left( ,{{{vec{n}}}_{1}}.,{{{vec{n}}}_{2}} right) right|) (=frac{left| {{{vec{n}}}_{1}}.,{{{vec{n}}}_{2}} right|}{left| {{{vec{n}}}_{1}} right|.left| {{{vec{n}}}_{2}}_{2} right|}=frac{left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}} right|}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}.sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})
