a) CMR: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc (O).
Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IC là phân giác trong của góc C.
Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC của góc A nên CK là phân giác ngoài của góc C.
Theo tính chất phân giác trong và phân giác ngoài ta có IC vuông CK nên ( angle ICK={{90}^{0}})
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: (angle IBK={{90}^{0}})
Xét tứ giác BICK ta có: ( angle IBK+angle ICK={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}.)
( Rightarrow BICK) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng ( {{180}^{0}}) )
Do O là trung điểm của IK nên theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì OC = OI = OK.
Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBKC.
b) CMR: AC là tiếp tuyến của (O).
Ta có : Tam giác IOC cân tại O nên : ( angle OIC=angle OCI.)
Mặt khác, theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có :
( begin{align} & angle OIC=angle IAC+angle ACI=frac{1}{2}angle BAC+frac{1}{2}angle ACB=frac{1}{2}angle BAC+frac{1}{2}angle ABC & Rightarrow angle ICO+angle ICA=frac{1}{2}angle BAC+frac{1}{2}angle ABC+frac{1}{2}angle ACB=frac{1}{2}{{.180}^{0}}={{90}^{0}} & Rightarrow OCbot CA. end{align})
Do đó AC là tiếp tuyến của (O) tại C (đpcm).
c) Tính tổng diện tích các hình viên phân giới hạn bởi các cung nhỏ CI, IB, BK, KC và các dây cung tương ứng của (O) biết AB = 20, BC = 24.
Gọi diện tích hình cần tính là S, diện tích hình tròn (O) là S’, gọi giao điểm BC và IK là M.
Ta có ngay :
( begin{align} & S=S'-{{S}_{ICKB}}=pi I{{O}^{2}}-{{S}_{IBK}}-{{S}_{IKC}} & =pi frac{I{{K}^{2}}}{4}-frac{BM.IK}{2}-frac{CM.IK}{2} & =pi frac{I{{K}^{2}}}{4}-frac{BC.IK}{2}. end{align})
Ta có :
( begin{align} & {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}AM.BC=frac{AB+BC+CA}{2}.IM & Leftrightarrow sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}.24=left( AB+BC+CA right).IM & Leftrightarrow sqrt{{{20}^{2}}-{{left( frac{24}{2} right)}^{2}}}.24=left( 20.2+24 right).IM & Leftrightarrow IM=6. end{align})
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ( IBM) vuông tại (B) có đường cao ( BM) ta có :
( begin{align} & B{{M}^{2}}=IM.MKLeftrightarrow MK=frac{B{{M}^{2}}}{IM}=frac{{{12}^{2}}}{6}=24. & Rightarrow IM=IM+MK=6+24=30. & Rightarrow S=frac{1}{4}pi I{{K}^{2}}-frac{1}{2}BC.IK=frac{1}{4}pi {{.30}^{2}}-frac{1}{2}.24.30 & =225pi -360approx 346,86 left( dvdt right). end{align})
