Bài viết hướng dẫn chuyển đổi một số phức có dạng $z = a + bi$ ($a, b ∈ R$) thành dạng lượng giác $z = r(cosφ + isinφ)$, đây là một nội dung quan trọng trong chương trình Giải tích 12 chương 4: số phức. Kiến thức và các ví dụ trong tài liệu được tham khảo từ các tài liệu số phức đăng tải trên TOANMATH.com.
Phương pháp Để viết số phức $z = a + bi,(a,b in R)$ dưới dạng lượng giác $z = r(c{rm{os}}varphi + isin varphi )$, trước hết ta biến đổi: $z = sqrt {{a^2} + {b^2}} (frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}i).$ Như vậy: $r = sqrt {{a^2} + {b^2}}.$ Đặt $c{rm{os}}varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ và $sin varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$ Từ đó suy ra $varphi $ là $1$ $acgumen$ của $z.$
Các công thức biến đổi lượng giác cần lưu ý
$1 + c{rm{os}}varphi + isin varphi $ $ = 2{cos ^2}frac{varphi }{2} + 2isin frac{varphi }{2}c{rm{os}}frac{varphi }{2}$ $ = 2cos frac{varphi }{2}left[ {c{rm{os}}frac{varphi }{2} + i sin frac{varphi }{2}} right].$ $1 + itan varphi = 1 + ifrac{{sin varphi }}{{c{rm{os}}varphi }}$ $ = frac{1}{{c{rm{os}}varphi }}(c{rm{os}}varphi + i sin varphi ).$
Ví dụ 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a. $5$. b. $-3$. c. $7i$. d. $-2i$.
a. $5 = 5left( {1 + 0i} right) = 5left( {cos 0 + isin 0} right).$ b. $ - 3 = 3left( { - 1 + 0i} right) = 3left( {{rm{cos}}pi {rm{ + sin}}pi {rm{i}}} right).$ c. $7i = 7left( {0 + i} right) = 7left( {cos frac{pi }{2} + isin frac{pi }{2}} right).$ d. $ - 2i = 2left( {0 - i} right)$ $ = 2left( {cos left( { - frac{pi }{2}} right) + isin left( { - frac{pi }{2}} right)} right).$
Ví dụ 2. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a. $1 - isqrt 3.$ b. $sqrt 3 - isqrt 3 .$ c. $frac{1}{3} + frac{{sqrt 3 }}{3}i.$ d. $frac{{7sqrt 3 }}{3} - 7i.$
a. $1 - isqrt 3 = 2left( {frac{1}{2} - ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = 2left[ {cos left( { - frac{pi }{3}} right) + isin left( { - frac{pi }{3}} right)} right].$ b. $sqrt 3 - isqrt 3 = sqrt 3 left( {1 - i} right)$ $ = sqrt 6 left( {frac{1}{{sqrt 2 }} - frac{i}{{sqrt 2 }}} right)$ $ = sqrt 6 left[ {cos left( { - frac{pi }{4}} right) + isin left( { - frac{pi }{4}} right)} right].$ c. $frac{1}{3} + frac{{sqrt 3 }}{3}i = frac{2}{3}left( {frac{1}{2} + ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = frac{2}{3}left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right).$ d. $frac{{7sqrt 3 }}{3} - 7i = frac{{7sqrt 3 }}{3}left( {1 - isqrt 3 } right)$ $ = frac{{14sqrt 3 }}{3}left( {frac{1}{2} - ifrac{{sqrt 3 }}{2}} right)$ $ = frac{{14sqrt 3 }}{3}left[ {cos left( { - frac{pi }{3}} right) + isin left( { - frac{pi }{3}} right)} right].$
Ví dụ 3. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a. $left( {1 + 3i} right)left( {1 + 2i} right).$ b. $left( {1 + i} right)left[ {1 + left( {sqrt 3 - 2} right)i} right].$ c. $left( {sqrt 2 - 2i} right).left[ {sqrt 2 + left( {3sqrt 2 - 4} right)i} right].$
a. $left( {1 + 3i} right)left( {1 + 2i} right)$ $ = 1 + 6{i^2} + 3i + 2i$ $ = - 5 + 5i = 5left( { - 1 + i} right)$ $ = 5sqrt 2 left( { - frac{1}{{sqrt 2 }} + ifrac{1}{{sqrt 2 }}} right)$ $ = 5sqrt 2 left( {cos frac{{3pi }}{4} + isin frac{{3pi }}{4}} right).$ b. $left( {1 + i} right)left[ {1 + left( {sqrt 3 - 2} right)i} right]$ $ = 1 - left( {sqrt 3 - 2} right) + left( {sqrt 3 - 2 + 1} right)i$ $ = 3 - sqrt 3 + left( {sqrt 3 - 1} right)i$ $ = sqrt 3 left( {sqrt 3 - 1} right) + left( {sqrt 3 - 1} right)i$ $ = left( {sqrt 3 - 1} right)left( {sqrt 3 + i} right)$ $ = 2left( {sqrt 3 - 1} right)left( {frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i} right)$ $ = 2left( {sqrt 3 - 2} right)left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right).$ c. $left( {sqrt 2 - 2i} right).left[ {sqrt 2 + left( {3sqrt 2 - 4} right)i} right]$ $ = left( {2 + 6sqrt 2 - 8} right) + left( {6 - 4sqrt 2 - 2sqrt 2 } right)i$ $ = left( {6sqrt 2 - 6} right) + left( {6 - 6sqrt 2 } right)i$ $ = left( {6sqrt 2 - 6} right)left( {1 - i} right)$ $ = sqrt 2 left( {6sqrt 2 - 6} right)left( {frac{1}{{sqrt 2 }} - frac{1}{{sqrt 2 }}i} right)$ $ = left( {12 - 6sqrt 2 } right)left[ {cos left( { - frac{pi }{4}} right) + isin left( { - frac{pi }{4}} right)} right].$
Ví dụ 4. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a. $frac{1}{{2 + 2i}}.$ b. $frac{{3 - i}}{{1 - 2i}}.$ c. $frac{{1 - isqrt 3 }}{{1 + i}}.$
a. Ta có: $frac{1}{{2 + 2i}} = frac{1}{{2left( {1 + i} right)}}$ $ = frac{{sqrt 2 }}{{4left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)}}$ $ = frac{{sqrt 2 }}{4}left[ {cos left( { - frac{pi }{4}} right) + isin left( { - frac{pi }{4}} right)} right].$ b. $frac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = frac{{left( {3 - i} right)left( {1 + 2i} right)}}{{left( {1 - 2i} right)left( {1 + 2i} right)}}$ $ = frac{{3 + 2 + 6i - i}}{{1 - {{left( {2i} right)}^2}}} = frac{{5 + 5i}}{{1 + 4}}$ $ = 1 + i$ $ = sqrt 2 left( {frac{1}{{sqrt 2 }} + frac{1}{{sqrt 2 }}i} right)$ $ = sqrt 2 left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right).$ c. $frac{{1 - isqrt 3 }}{{1 + i}}$ $ = frac{2}{{sqrt 2 }}left[ {cos left( { - frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right) + isin left( { - frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right)} right]$ $ = sqrt 2 left[ {cos left( {frac{{ - 7pi }}{{12}}} right) + isin left( {frac{{ - 7pi }}{{12}}} right)} right].$
Ví dụ 5. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a. $1 + frac{i}{{sqrt 3 }}.$ b. $1 + sqrt 3 + left( {1 - sqrt 3 } right)i.$
a. Ta có: $1 + frac{i}{{sqrt 3 }} = 1 + itan frac{pi }{6}$ $ = 1 + ifrac{{sin frac{pi }{6}}}{{cos frac{pi }{6}}}$ $ = frac{1}{{cos frac{pi }{6}}}left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right)$ $ = frac{2}{{sqrt 3 }}left( {cos frac{pi }{6} + isin frac{pi }{6}} right).$ b. $1 + sqrt 3 + left( {1 - sqrt 3 } right)i$ $ = 1 + tan frac{pi }{3} + left( {1 - tan frac{pi }{3}} right)i$ $ = 1 + frac{{sin frac{pi }{3}}}{{cos frac{pi }{3}}} + left( {1 - frac{{sin frac{pi }{3}}}{{cos frac{pi }{3}}}} right)i$ $ = frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + sin frac{pi }{3}} right)$ $ + frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + isin frac{pi }{3}} right)i$ $ = frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {cos frac{pi }{3} + sin frac{pi }{3}} right)$ $ - frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}left( {sin frac{pi }{3} - cos frac{pi }{3}} right)i$ $ = frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}sqrt 2 cos left( {frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right)$ $ - frac{1}{{cos frac{pi }{3}}}sqrt 2 sin left( {frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right).i$ $ = 2sqrt 2 left( {cos frac{pi }{{12}} - isin frac{pi }{{12}}} right)$ $ = 2sqrt 2 left[ {cos left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right].$ Cách khác: $1 + sqrt 3 + left( {1 - sqrt 3 } right)i$ $ = left( {1 + sqrt 3 } right)left( {1 + frac{{1 - sqrt 3 }}{{1 + sqrt 3 }}i} right)$ $ = left( {1 + sqrt 3 } right)left( {1 + frac{{tan frac{pi }{4} - tan frac{pi }{3}}}{{1 + tan frac{pi }{4}.tan frac{pi }{3}}}i} right)$ $ = left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + itan left( {frac{pi }{4} - frac{pi }{3}} right)} right]$ $ = left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + itan left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right]$ $ = left( {1 + sqrt 3 } right)left[ {1 + ifrac{{sin left( { - frac{pi }{{12}}} right)}}{{cos left( { - frac{pi }{{12}}} right)}}} right]$ $ = frac{{1 + sqrt 3 }}{{cos frac{pi }{{12}}}}left[ {cos left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right].$ Mà $cos frac{pi }{{12}} = cos left( {frac{pi }{3} - frac{pi }{4}} right)$ $ = cos frac{pi }{3}.cos frac{pi }{4} + sin frac{pi }{3}.sin frac{pi }{4}$ $ = frac{1}{{2sqrt 2 }} + frac{{sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }} = frac{{1 + sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }}.$ Do đó: $1 + sqrt 3 + left( {1 - sqrt 3 } right).i$ $ = frac{{1 + sqrt 3 }}{{cos frac{pi }{{12}}}}left[ {cos left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right]$ $ = 2sqrt 2 left[ {cos left( { - frac{pi }{{12}}} right) + isin left( { - frac{pi }{{12}}} right)} right].$
