Ví dụ 1:
Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) (y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7)
b) (y=x^4-2x^2-1)
c) (y=frac{x+1}{x-1})
Lời giải:
a) (y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7)
Xét hàm số: (y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 7)
TXĐ: (D=mathbb{R})
(y'=3x^2-6x+3)
(y' = 0 Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 = 0 Leftrightarrow x = 1)
Bảng biến thiên:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên (mathbb{R}.)
b) (y=x^4-2x^2-1)
Xét hàm số (y=x^4-2x^2-1)
TXĐ: (D=mathbb{R})
(y'=4x^3-4x)
(y' = 0 Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0 x = - 1 x = 1 end{array} right.)
Bảng biến thiên:
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (left( { - 1;0} right)) và (left( {1; + infty } right))
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (left( {- infty;-1 } right)) và ((0;1).)
c) (y=frac{x+1}{x-1})
Xét hàm số (y=frac{x+1}{x-1}).
TXĐ: (D = mathbb{R}backslash left{ 1 right})
(y' = frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,forall ne 1)
Bảng biến thiên:
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (left( { - infty ;1} right)) và (left( { 1;+ infty } right)).
Ví dụ 2:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số (y=x^3+3x^2+mx+m) đồng biến trên (mathbb{R}).
Lời giải:
Xét hàm số (y=x^3+3x^2+mx+m)
TXĐ: (D=mathbb{R})
(y' = 3{x^2} + 6x + m)
Hàm số đồng biến trên (mathbb{R}) khi (y' ge 0,forall x inmathbb{R} Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta ' le 0 a = 1 > 0 end{array} right. Leftrightarrow 9 - 3m < 0 Leftrightarrow m ge 3).
Kết luận: với (mgeq 3) thì hàm số đồng biến trên (mathbb{R}).
Ví dụ 3:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số (y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1) đồng biến trong khoảng ((2; + infty )).
Lời giải:
Xét hàm số (y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1).
TXĐ: (D=mathbb{R})
(y' = 6{x^2} - 6(2m + 1)x + 6m(m + 1))
(Delta = {(2m + 1)^2} - 4({m^2} + m) = 1 > 0)
(y' = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = m x = m + 1 end{array} right.)
Hàm số đồng biến trong các khoảng (( - infty ;m),,,(m + 1; + infty )).
Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng ((2; + infty )) khi (m + 1 le 2 Leftrightarrow m le 1.)
