HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{2x}} < 8$ là
A. $left( { - infty ;frac{3}{2}} right)$. B. $left( {frac{3}{2}; + infty } right)$. C. $( - infty ;2)$. D. $left( {0;frac{3}{2}} right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có ${2^{2x}} < 8 Leftrightarrow {2^{2x}} < {2^3} Leftrightarrow 2x < 3 Leftrightarrow x < frac{3}{2}$.
Câu 2: Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $int {{x^{frac{1}{3}}}} dx = {x^{frac{4}{3}}} + C$. B. $int {{x^{frac{1}{3}}};{text{d}}x} = frac{3}{4}{x^{frac{4}{3}}} + C$. C. $int {{x^{frac{1}{3}}}} ;{text{d}}x = {x^{frac{2}{3}}} + C$. D. $int {{x^{frac{1}{3}}}} dx = frac{3}{2}{x^{frac{2}{3}}} + C$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $int {{x^{frac{1}{3}}};{text{d}}x} = frac{1}{{frac{1}{3} + 1}}{x^{frac{1}{3} + 1}} + C = frac{3}{4}{x^{frac{4}{3}}} + C$ với $C in mathbb{R}$.
Câu 3: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều?
A. $729$. B. $20$. C. $120$. D. $216$.
Lời giải
Chọn B
Số tam giác là số cách chọn 3 đỉnh của tam giác. Số tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều là $C_6^3 = 20$ tam giác.
Câu 4: Cho hàm số $f(x) = cos x - x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $int f (x){text{d}}x = - sin x + {x^2} + C$. B. $int f (x){text{d}}x = - sin x - frac{{{x^2}}}{2} + C$.
C. $int f (x){text{d}}x = sin x - {x^2} + C$. D. $int {f(x){text{d}}x} = sin x - frac{{{x^2}}}{2} + C$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $int {f(x)dx = int {left( {cos x - x} right)dx = sin x - frac{1}{2}{x^2} + C} } $ với $C in mathbb{R}$.
Câu 5: Đạo hàm của hàm số $y = {log _2}(x - 1)$ là
A. $y’ = frac{{x - 1}}{{ln 2}}$. B. $y’ = frac{1}{{ln 2}}$. C. $y’ = frac{1}{{(x - 1)ln 2}}$. D. $y’ = frac{1}{{x - 1}}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $y = {log _2}(x - 1) Rightarrow y’ = frac{{{{left( {x - 1} right)}^prime }}}{{left( {x - 1} right)ln 2}} = frac{1}{{left( {x - 1} right)ln 2}}$.
Câu 6: Với $b,,c$ là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn ${log _5}b geqslant {log _5}c$, khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. $b geqslant c$. B. $b leqslant c$. C. $b > c$. D. $b < c$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${log _5}b geqslant {log _5}c Leftrightarrow b geqslant c$.
Câu 7: Cho hàm số bậc ba $y = fleft( x right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Số nghiệm thực của phương trình $fleft( x right) = 2$ là
A. $1$. B. $0$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Chọn D
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị.
Do số giao điểm của đồ thị hàm số $y = fleft( x right)$ và đường thẳng $y = 2$ là 3 nên số nghiệm thực của phương trình $fleft( x right) = 2$ là 3.
Câu 8: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = frac{{3x - 1}}{{x - 2}}$ có phương trình là
A. $x = 2$. B. $x = - 2$. C. $x = 3$. D. $x = frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = + infty $ và $mathop {lim }limits_{x to {2^ - }} frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = - infty $ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = frac{{3x - 1}}{{x - 2}}$ có phương trình là $x = 2$.
Câu 9: Nếu khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có thể tích $V$ thì khối chóp $A’.ABC$ có thể tích bằng
A. $frac{V}{3}$. B. $V$. C. $frac{{2V}}{3}$. D. $3V$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $h$ là chiều cao của khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$.
Khi đó $V = h.{S_{ABC}}$.
Ta có ${V_{A’.ABC}} = frac{1}{3}h.{S_{ABC}} = frac{1}{3}V$.
Câu 10: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$. Biết hàm số $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của $fleft( x right)$ trên $mathbb{R}$ và $Fleft( 2 right) = 6,Fleft( 4 right) = 12.$ Tích phân $intlimits_2^4 {fleft( x right)} ,dx$ bằng
A. $2$. B. $6$. C. $18$. D. $ - 6$.
Lời giải
Chọn B
$intlimits_2^4 {fleft( x right)} ,dx = Fleft( 4 right) - Fleft( 2 right) = 12 - 6 = 6$.
Câu 11: Điểm $M$ trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A. $2 - i$. B. $1 + 2i$. C. $1 - 2i$. D. $2 + i$.
Lời giải
Chọn D
Điểm $Mleft( {2;1} right)$ biểu diễn số $2 + i$.
Câu 12: Cho hàm số $y = fleft( x right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $left( { - infty ;0} right)$. B. $left( {2; + infty } right)$. C. $left( {0; + infty } right)$. D. $left( { - 1;2} right)$.
Lời giải
Chọn B
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $left( {2; + infty } right)$.
Câu 13: Cho hình trụ có chiều cao $h = 3$ và bán kính đáy $r = 4$. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. $48pi $. B. $16pi $. C. $24pi $. D. $56pi $.
Lời giải
Chọn C
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng $S = 2pi hr = 2.pi .3.4 = 24pi $.
Câu 14: Cho khối nón có thể tích bằng $12$ và diện tích đáy bằng $9$. Chiều cao của khối nón đã cho bằng:
A. $frac{{4pi }}{3}$. B. $frac{4}{3}$. C. $4pi $. D. $4$.
Lời giải
Chọn D
Chiều cao của khối nón đã cho bằng: $h = frac{{3V}}{S} = frac{{3.12}}{9} = 4$.
Câu 15: Cho hai số phức ${z_1} = 2 - i$ và ${z_2} = 1 + 3i$. Phần thực của số phức ${z_1} - {z_2}$ bằng
A. $3$. B. $ - 4$. C. $1$. D. $ - 1$.
Lời giải
Chọn C
${z_1} - {z_2} = 2 - i - left( {1 + 3i} right) = 1 - 4i$.
Phần thực của số phức ${z_1} - {z_2}$ bằng $1$.
Câu 16: Cho khối chóp $S.ABCD$ có chiều cao bằng $4$ và đáy $ABCD$ có diện tích bằng $3$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $7$. B. $5$. C. $4$. D. $12$.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${V_{S.ABCD}} = frac{1}{3}.h.{S_{ABCD}} = frac{1}{3}.4.3 = 4$.
Câu 17: Cho hàm số $y = {left( {2{x^2} - 1} right)^{frac{1}{2}}}$. Giá trị của hàm số đã cho tại điểm $x = 2$ bằng
A. $3$. B. $sqrt 7 $. C. $sqrt 3 $. D. $7$.
Lời giải
Chọn B
Giá trị của hàm số $y = fleft( x right) = {left( {2{x^2} - 1} right)^{frac{1}{2}}}$ tại điểm $x = 2$ là:
$fleft( 2 right) = {left( {{{2.2}^2} - 1} right)^{frac{1}{2}}} = {7^{frac{1}{2}}} = sqrt 7 $.
Câu 18: Cho dãy số $left( {{u_n}} right)$ với ${u_n} = frac{1}{{n + 1}}$, $forall n in {mathbb{N}^*}$. Giá trị của ${u_3}$ bằng
A. $4$. B. $frac{1}{4}$. C. $frac{1}{3}$. D. $frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${u_3} = frac{1}{{3 + 1}} = frac{1}{4}$.
Câu 19: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $left( S right)$ có tâm $Ileft( {1;2; - 1} right)$ và bán kính $R = 2$. Phương trình của $left( S right)$ là
A. ${left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 2} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 4$. B. ${left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 2} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 2$.
C. ${left( {x + 1} right)^2} + {left( {y + 2} right)^2} + {left( {z - 1} right)^2} = 2$. D. ${left( {x + 1} right)^2} + {left( {y + 2} right)^2} + {left( {z - 1} right)^2} = 4$.
Lời giải
Chọn A
Phương trình mặt cầu $left( S right)$ có tâm $Ileft( {1;2; - 1} right)$ và bán kính $R = 2$ là${left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 2} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = {2^2} Leftrightarrow {left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 2} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 4$.
Câu 20: Trong không gian $Oxyz$, cho hai vecto $overrightarrow u = left( {1;2; - 2} right)$ và $overrightarrow v = left( {2; - 2;3} right)$. Tọa độ của vecto $overrightarrow u + overrightarrow v $ là
A. $left( { - 1;4; - 5} right)$. B. $left( {1; - 4;5} right)$. C. $left( {3;0;1} right)$. D. $left( {3;0; - 1} right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $overrightarrow u + overrightarrow v = left( {1 + 2;2 + left( { - 2} right); - 2 + 3} right) = left( {3;0;1} right)$.
Câu 21: Cho số phức $z = 1 - 2i$. Phần ảo của số phức $overline z $ bằng
A. $ - 1$. B. $2$. C. $1$. D. $ - 2$
Lời giải
Chọn B
Ta có $overline z = 1 + 2i$ nên phần ảo của số phức $overline z $ là $2$.
Câu 22: Nếu $intlimits_0^1 {fleft( x right)} {text{d}}x = 2$ và $intlimits_1^3 {fleft( x right)} {text{d}}x = 5$ thì $intlimits_0^3 {fleft( x right)} {text{d}}x$ bằng
A. $10$. B. $3$. C. $7$. D. $ - 3$
Lời giải
Chọn C
Ta có:$intlimits_0^3 {fleft( x right)} {text{d}}x = intlimits_0^1 {fleft( x right)} {text{d}}x + intlimits_1^3 {fleft( x right)} {text{d}}x = 2 + 5 = 7$.
Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình ${log _3}left( {2x} right) geqslant {log _3}2$ là
A. $left( {0,;, + infty } right)$. B. $left[ {1,;, + infty } right)$. C. $left( {1,;, + infty } right)$. D. $left( {0,;,1} right]$.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện : $x > 0$.
Ta có: ${log _3}left( {2x} right) geqslant {log _3}2$$ Leftrightarrow 2x geqslant 2$$ Leftrightarrow x geqslant 1$.
Câu 24: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
A. $y = frac{{x + 2}}{x}$. B. $y = - {x^3} + 3x + 1$. C. $y = {x^4} - 3{x^2}$. D. $y = - 2{x^2} + 1$
Lời giải
Chọn B
Ta có : $y = - {x^3} + 3x + 1$ có $y’ = - 3{x^2} + 3 = 0$$ Leftrightarrow x = pm 1$. Vậy $x = pm 1$là các điểm cực trị của hàm số.
Câu 25: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $left( {Oxz} right)$ có phương trình là.
A. $x = 0$. B. $z = 0$. C. $x + y + z = 0$. D. $y = 0$.
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng $left( {Oxz} right)$ có phương trình là: $y = 0$.
Câu 26: Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + dleft( {a,b,c,d in mathbb{R}} right)$có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:
A. $0$. B. $1$. C. $3$. D. $ - 1$.
Lời giải
Chọn C
Giá trị cực đại của hàm số là $3$.
Câu 27: Trong không gia $Oxyz$ phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2;1; - 1)$ và có một véc tơ chỉ phương $overrightarrow u = left( {1; - 2;3} right)$ là
A. $frac{{x - 1}}{2} = frac{{y + 2}}{1} = frac{{z - 3}}{{ - 1}}$. B. $frac{{x - 2}}{1} = frac{{y - 1}}{{ - 2}} = frac{{z + 1}}{3}$.
C. $frac{{x + 1}}{2} = frac{{y - 2}}{1} = frac{{z + 3}}{{ - 1}}$. D. $frac{{x + 2}}{1} = frac{{y + 1}}{{ - 2}} = frac{{z - 1}}{3}$.
Lời giải
Chọn B
Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2;1; - 1)$ và có một véc tơ chỉ phương $overrightarrow u = left( {1; - 2;3} right)$ là: $frac{{x - 2}}{1} = frac{{y - 1}}{{ - 2}} = frac{{z + 1}}{3}$.
Câu 28: Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. $1$. B. $3$. C. $0$. D. $2$.
Lời giải
Chọn D
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là 2.
Câu 29: Với $a$, $b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $a ne 1$ và ${log _a}b = 2$, giá trị của ${log _{{a^2}}}left( {a{b^2}} right)$ bằng
A. 2. B. $frac{3}{2}$. C. $frac{1}{2}$. D. $frac{5}{2}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có ${log _{{a^2}}}left( {a{b^2}} right) = {log _{{a^2}}}a + {log _{{a^2}}}{b^2} = {log _{{a^2}}}a + {log _a}b = frac{1}{2} + 2 = frac{5}{2}$.
Câu 30: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(5;2;1)$ và $B(1;0;1)$. Phương trình của mặt cầu đường kính $AB$ là
A. ${left( {x + 3} right)^2} + {left( {y + 1} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 5$. B. ${left( {x - 3} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} + {left( {z - 1} right)^2} = 20$.
C. ${left( {x - 3} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} + {left( {z - 1} right)^2} = 5$. D. ${left( {x + 3} right)^2} + {left( {y + 1} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 20$.
Lời giải
Chọn C
Do $AB$ là đường kính của mặt cầu nên trung điểm $Ileft( {3;1;1} right)$ của $AB$ là tâm mặt cầu, bán kính của mặt cầu là: $R = frac{{AB}}{2} = frac{{sqrt {{{left( {5 - 1} right)}^2} + {{left( {2 - 0} right)}^2} + {{left( {1 - 1} right)}^2}} }}{2} = sqrt 5 $.
Ta có phương trình mặt cầu: $left( C right):{left( {x - 3} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} + {left( {z - 1} right)^2} = 5$. Chọn đáp án C.
Câu 31: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2; - 1)$ và mặt phẳng $(P):x + 2y + z = 0$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là
A. $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 1 + t} {y = 2 - 2t} {z = - 1 + t} end{array}} right.$. B. $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 1 + t} {y = 2 + 2t} {z = 1 - t} end{array}} right.$. C. $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 1 + t} {y = 2 + 2t} {z = 1 + t} end{array}} right.$. D. $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 1 + t} {y = 2 + 2t} {z = - 1 + t} end{array}} right.$.
Lời giải
Chọn D
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P):x + 2y + z = 0$ nên nhận vector pháp tuyến $overrightarrow n = left( {1;2;1} right)$ của $left( P right)$là vector chỉ phương.
Mặt khác đường thẳng đi qua $Aleft( {1;2; - 1} right)$ nên ta có phương trình $left{ begin{gathered} x = 1 + t hfill y = 2 + 2t hfill z = - 1 + t hfill end{gathered} right.left( {t in mathbb{R}} right)$.
Câu 32: Biết đường thẳng $y = x - 1$ cắt đồ thị hàm số $y = frac{{ - x + 5}}{{x - 2}}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ là ${x_1},{x_2}$. Giá trị ${x_1} + {x_2}$ bằng
A. $ - 1$. B. 3. C. 2. D. 1.
Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm là:
$x - 1 = frac{{ - x + 5}}{{x - 2}} Leftrightarrow left{ begin{gathered} x ne 2 hfill left( {x - 1} right)left( {x - 2} right) + x - 5 = 0 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} x ne 2 hfill {x^2} - 3x + 2 + x - 5 = 0 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} x ne 2 hfill {x^2} - 2x - 3 = 0 hfill end{gathered} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{gathered} x = 3 hfill x = - 1 hfill end{gathered} right.$.
Suy ra ${x_1} + {x_2} = - 1 + 3 = 2$.
Câu 33: Cho hàm số $y = fleft( x right)$ có đạo hàm $f’left( x right) = xleft( {x - 4} right),forall x in mathbb{R}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $fleft( 4 right) > fleft( 0 right)$. B. $fleft( 0 right) > fleft( 2 right)$. C. $fleft( 5 right) > fleft( 6 right)$. D. $fleft( 4 right) > fleft( 2 right)$.
Lời giải
Chọn B
$f’left( x right) = xleft( {x - 4} right)$ nên $f’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered} x = 0 hfill x = 4 hfill end{gathered} right.$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta được $fleft( 0 right) > fleft( 2 right)$.
Câu 34: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB = 1$, $BC = 2$, $AA’ = 2$ (tham khảo hình bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD’$ và $DC’$ bằng
A. $sqrt 2 $. B. $frac{{sqrt 6 }}{2}$. C. $frac{{2sqrt 5 }}{5}$. D. $frac{{sqrt 6 }}{3}.$
Lời giải
Chọn D
Ta có $AD’ subset left( {AD’B’} right)$, $DC’ subset left( {DC’B} right)$ và $left( {AD’B’} right){text{ // }}left( {DC’B} right)$ nên khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD’$ và $DC’$ bằng khoảng cách giữa $left( {AD’B’} right)$ và $left( {DC’B} right)$.
$dleft( {left( {AD’B’} right);left( {DC’B} right)} right) = dleft( {A;left( {DC’B} right)} right) = dleft( {C;left( {DC’B} right)} right) = h$
Xét tứ diện $C.BC’D$ có các cạnh $CD,CB,CC’$ đôi một vuông góc nên ta có
$frac{1}{{{h^2}}} = frac{1}{{C{B^2}}} + frac{1}{{C{D^2}}} + frac{1}{{CC{‘^2}}} = frac{1}{{{2^2}}} + frac{1}{{{1^2}}} + frac{1}{{{2^2}}} = frac{3}{2}$ $ Rightarrow h = frac{{sqrt 6 }}{3}$.
Câu 35: Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng
A. $frac{{72}}{{143}}$. B. $frac{{15}}{{143}}$. C. $frac{{128}}{{143}}$. D. $frac{{71}}{{143}}$.
Lời giải
Chọn C
Số cách để chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ $5 + 8 = 13$ học sinh là $C_{13}^4$.
Khi đó $nleft( Omega right) = C_{13}^4$.
Gọi $A$ là biến cố để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Khi nó $nleft( A right) = C_5^1C_8^3 + C_5^2C_8^2 + C_5^3C_8^1 = 640$
Nên $Pleft( A right) = frac{{nleft( A right)}}{{nleft( Omega right)}} = frac{{C_5^1C_8^3 + C_5^2C_8^2 + C_5^3C_8^1}}{{C_{13}^4}} = frac{{128}}{{143}}$.
Câu 36: Gọi ${z_1},{z_2}$là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - 6z + 14 = 0$và $M,N$lần lượt là điểm biểu diễn của ${z_1},{z_2}$ trên mặt phẳng toạ độ.Trung điểm của đoạn $MN$có toạ độ là
A. $left( {3;7} right)$. B. $left( { - 3;0} right)$. C. $left( {3;0} right)$. D. $left( { - 3;7} right)$.
Lời giải
Chọn C
Phương trình ${z^2} - 6z + 14 = 0$
Có $Delta ‘ = 9 - 14 = - 5 = 5{i^2}$
Suy ra $sqrt {Delta ‘} = sqrt {5{i^2}} = isqrt 3 $
Phương trình có 2 nghiệm là ${z_1} = 3 + isqrt 3 ;,{z_2} = 3 - isqrt 3 $
Tọa độ $Mleft( {3;sqrt 3 } right);Nleft( {3; - sqrt 3 } right)$
Trung điểm của đoạn thẳng $MN$ có tọa độ là$left( {3;0} right)$.
Câu 37: Đường gấp khúc $ABC$trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y = fleft( x right)$trên đoạn $left[ { - 2;3} right]$.
Tích phân $intlimits_{ - 2}^3 {fleft( x right)} dx$bằng
A. $4$. B. $frac{9}{2}$. C. $frac{7}{2}$. D. $3$.
Lời giải
Chọn D
Ta có
$intlimits_{ - 2}^3 {fleft( x right)} dx = {S_{ABGH}} + {S_{BGD}} - {S_{CDE}}$
$intlimits_{ - 2}^3 {fleft( x right)} dx = 3.1 + frac{1}{2}.1.1 - frac{1}{2}.1.1 = 3$.
Câu 38: Cho hình chóp đều$S.ABC{text{D}}$có đáy bằng a chiều cao bằng $frac{{sqrt 3 a}}{6}$.Góc giữa mặt phẳng $left( {SCD} right)$và mặt phẳng đáy bằng
A. $45^circ $. B. $90^circ $. C. $60^circ $. D. $30^circ $.
Lời giải
Chọn D
Gọi $O$ là tâm mặt đáy, $H$ là trung điểm cạnh $CD$
Suy ra $left( {SOH} right) bot CD Rightarrow SHO = left( {left( {SCD} right),left( {ABCD} right)} right)$
$SO = frac{{sqrt 3 a}}{6};OH = frac{a}{2} Rightarrow tan left( {SHO} right) = frac{{SO}}{{OH}} = frac{{frac{{sqrt 3 a}}{6}}}{{frac{a}{2}}} = frac{{sqrt 3 }}{3}$ Suy ra $widehat {SHO} = 30^circ $
Vậy góc giữa mặt phẳng $left( {SCD} right)$ và $left( {ABCD} right)$là $30^circ $.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên $x$ thoả mãn điều kiện $left( {{7^x} - 49} right)left( {log _3^2x - 7{{log }_3}x + 6} right) < 0$?
A. $728$. B. $726$. C. $725$. D. $729$.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: $x > 0$
$left( {{7^x} - 49} right)left( {log _3^2x - 7{{log }_3}x + 6} right) < 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {left{ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{7^x} - 49 > 0} {log _3^2x - 7{{log }_3}x + 6 < 0} end{array}} right.} {left{ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{7^x} - 49 < 0} {log _3^2x - 7{{log }_3}x + 6 > 0} end{array}} right.} end{array}} right.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {left{ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{7^x} > 49} {1 < {{log }_3}x < 6} end{array}} right.} {left{ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{7^x} < 49} {left[ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{{log }_3}x < 1} {{{log }_3}x > 6} end{array}} right.} end{array}} right.} end{array} Leftrightarrow left[ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {left{ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x > 2} {3 < x < {3^6}} end{array}} right.} {left{ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x < 2} {left[ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {0 < x < 3} {x > {3^6}} end{array}} right.} end{array}} right.} end{array}} right.} right.$
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {0 < x < 2} {3 < x < {3^6}} end{array}} right.$
Mà $x in mathbb{Z} Rightarrow x in left{ {1;4;5;…;728} right}$
Vậy có 726 số thỏa mãn.
Câu 40: Cho hàm số bậc hai $y = fleft( x right)$ có đồ thị $left( P right)$ và đường thẳng $d$ cắt $left( P right)$ tại hai điểm như trong hình vẽ bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi $left( P right)$ và $d$ có diện tích $S = frac{{125}}{9}$. Tích phân $intlimits_1^6 {left( {2x - 5} right)f’left( x right)} {text{d}}x$ bằng
A. $frac{{830}}{9}$. B. $frac{{178}}{9}$. C. $frac{{340}}{9}$. D. $frac{{925}}{{18}}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $S_{_{hthang}}^{} = frac{{left( {8 + 3} right).5}}{2} = frac{{55}}{2} Rightarrow intlimits_1^6 {fleft( x right)dx} = frac{{55}}{2} - frac{{125}}{9} = frac{{245}}{{18}}$.
Đặt $left{ {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {u = 2x - 5 Rightarrow du = 2dx} {dv = f’left( x right)dx Rightarrow v = fleft( x right)} end{array}} right.$
$intlimits_1^6 {left( {2x - 5} right)f’left( x right)} {text{d}}x = left. {left( {2x - 5} right)fleft( x right)} right|_1^6 - 2intlimits_1^6 {fleft( x right)} dx = 7.fleft( 6 right) + 3.fleft( 1 right) - 2.frac{{245}}{{18}}$
$ = 7.8 + 3.3 - 2.frac{{245}}{{18}} = frac{{340}}{9}$.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$, hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 3mx + frac{5}{3}$ có đúng một cực trị thuộc khoảng $left( { - 2;5} right)$?
A. $16$. B. $6$. C. $17$. D. $7$.
Lời giải
Chọn D
$y’ = - 3{x^2} + 6x - 3m$
hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 3mx + frac{5}{3}$ có đúng một cực trị thuộc khoảng $left( { - 2;5} right)$ khi và chỉ khi
$y’ = 0$ có một nghiệm thuộc khoảng $left( { - 2;5} right) Leftrightarrow {x^2} - 2x + m = 0$ có một nghiệm thuộc khoảng $left( { - 2;5} right)$
$ Leftrightarrow {x^2} - 2x = - m$
$gleft( x right) = {x^2} - 2x Rightarrow g’left( x right) = 2x - 2$
$g’left( x right) = 0 Leftrightarrow 2x - 2 = 0 Leftrightarrow x = 1$
Để hàm số có 1 cực trị $ Rightarrow 8 leqslant - m < 15 Leftrightarrow - 15 < m leqslant - 8 Rightarrow m in left{ { - 14; - 13; - 12; - 11; - 10; - 9; - 8} right}$
Câu 42: Cho hàm số $fleft( x right)$ nhận giá trị dương trên khoảng $left( {0; + infty } right)$, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn $fleft( x right)ln fleft( x right) = xleft( {fleft( x right) - f’left( x right)} right),,,forall x in $$left( {0; + infty } right)$. Biết $fleft( 1 right) = fleft( 3 right)$, giá trị $fleft( 2 right)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $left( {12;14} right).$ B. $left( {4;6} right).$ C. $left( {1;3} right).$ D. $left( {6;8} right).$
Lời giải
Chọn B
Ta có
$fleft( x right)ln fleft( x right) = xleft( {fleft( x right) - f’left( x right)} right) Leftrightarrow ln fleft( x right) = xleft( {1 - frac{{f’left( x right)}}{{fleft( x right)}}} right) Leftrightarrow ln fleft( x right) = xleft( {1 - {{left( {ln fleft( x right)} right)}^prime }} right)$
$ Leftrightarrow {left( x right)^prime }ln fleft( x right) + x{left( {ln fleft( x right)} right)^prime } = x Leftrightarrow {left( {xln fleft( x right)} right)^prime } = x$.
Từ đó $xln fleft( x right) = int {xdx} = frac{1}{2}{x^2} + C$.
Cho $x = 1$ ta được $ln fleft( 1 right) = frac{1}{2} + C$
Cho $x = 3$ ta được $3ln fleft( 3 right) = frac{9}{2} + C$
Theo bài ra thì $fleft( 1 right) = fleft( 3 right)$, từ đó suy ra $C = frac{3}{2}$ nên $fleft( x right) = {e^{frac{1}{2}x + frac{3}{{2x}}}}$.
Cho $x = 2$ ta được $fleft( 2 right) = {e^{frac{7}{4}}} simeq 5,75$
Câu 43: Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z = a + bi,,left( {a,b in mathbb{R}} right)$ thỏa mãn $left| {z + overline z } right| + left| {z - overline z } right| = 6$ và $ab leqslant 0$. Xét ${z_1}$ và ${z_2}$ thuộc $S$ sao cho $frac{{{z_1} - {z_2}}}{{ - 1 + i}}$ là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $left| {{z_1} + 3i} right| + left| {{z_2}} right|$ bằng
A. $3sqrt 2 .$ B. $3.$ C. $3sqrt 5 .$ D. $3 + 3sqrt 2 .$
Lời giải
Chọn C
Cách 1
Từ giả thiết suy ra $left| a right| + left| b right| = 3 Rightarrow a - b = pm 3$ (do $ab leqslant 0$)
Do $frac{{{z_1} - {z_2}}}{{ - 1 + i}}$ là số thực dương nên ${a_1} - {a_2} = - left( {{b_1} - {b_2}} right) < 0$ suy ra ${a_1} < {a_2}$ và ${a_1} + {b_1} = {a_2} + {b_2}$ (1)
Nếu ${a_1} - {b_1} = {a_2} - {b_2}$ thì ${z_1} = {z_2}$ (loại);
Vậy ${a_1} - {b_1} = - left( {{a_2} - {b_2}} right)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ${a_1} = {b_2},,,,{a_2} = {b_1} Rightarrow {a_1} < {a_2} = {b_1}$
Do đó ${a_1} - {b_1} = - 3 Rightarrow {b_1} = {a_1} + 3 = x + 3$
$ Rightarrow {z_1} = x + left( {x + 3} right)i$, ${z_2} = x + 3 + xi$
Vậy $left| {{z_1} + 3i} right| + left| {{z_2}} right| = sqrt {{x^2} + {{left( {x + 6} right)}^2}} + sqrt {{{left( {x + 3} right)}^2} + {x^2}} geqslant sqrt {{3^2} + {6^2}} = 3sqrt 5 $
Dấu “=” xảy ra khi $x = - 2$.
Cách 2
Từ giả thiết suy ra $left| a right| + left| b right| = 3 Rightarrow a - b = pm 3$ (do $ab leqslant 0$)
Trên mặt phẳng Oab, vẽ 2 đoạn thẳng
[AB]: $a - b = 3,,left( {0 leqslant a leqslant 3} right)$ với $Aleft( {3;0} right),,,Bleft( {0; - 3} right)$
[A’B’]: $a - b = - 3,,left( { - 3 leqslant a leqslant 0} right)$ với $A’left( { - 3;0} right),,,B’left( {0;3} right)$
Gọi $Mleft( {a;b} right)$ biểu diễn cho số phức ${z_1}$, $Nleft( {a’;b’} right)$ biểu diễn cho số phức ${z_2}$. Thế thì $M,N$ chạy trên [AB] hoặc [A’B’].
Ta có $frac{{{z_1} - {z_2}}}{{ - 1 + i}} = frac{1}{2}left[ {left( {b - b’} right) - left( {a - a’} right) - left( {a - a’} right)i - left( {b - b’} right)i} right]$
Do $frac{{{z_1} - {z_2}}}{{ - 1 + i}}$ là số thực dương nên $left{ begin{array}{l} left( {b - b’} right) - left( {a - a’} right) > 0 left( {b - b’} right) + left( {a - a’} right) = 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a < a’ b > b’ a + b = a’ + b’ end{array} right.$
Khi đó $M in left[ {A’B’} right],,,N in left[ {AB} right]$.
Vậy $Mleft( {a;a + 3} right)$, $Nleft( {a’;a’ - 3} right)$
Ta có $a + b = a’ + b’ Leftrightarrow a + a - 3 = a’ + a’ + 3 Leftrightarrow a’ = a + 3$ nên $Nleft( {a + 3;a} right)$
Do vậy
$left| {{z_1} + 3i} right| + left| {{z_2}} right| = sqrt {{a^2} + {{left( {a + 6} right)}^2}} + sqrt {{{left( {a + 3} right)}^2} + {a^2}} = sqrt {{{left( { - a} right)}^2} + {{left( {a + 6} right)}^2}} + sqrt {{{left( {a + 3} right)}^2} + {{left( { - a} right)}^2}} $
$ geqslant sqrt {{3^2} + {6^2}} = 3sqrt 5 $
Dấu “=” xảy ra khi $frac{{a + 6}}{{ - a}} = frac{{ - a}}{{a + 3}} > 0 Leftrightarrow a = - 2$.
Câu 44: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $SA = SB = SC = AC = a,$ $SB$ tạo với mặt phẳng $left( {SAC} right)$ một góc $30^circ $. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $frac{{{a^3}}}{4}$. B. $frac{{{a^3}}}{8}$. C. $frac{{sqrt 3 {a^3}}}{{12}}$. D. $frac{{sqrt 3 {a^3}}}{{24}}$.
Lời giải
Chọn C
Vẽ $BH bot left( {SAC} right)$ tại $H$ suy ra $left( {SB;left( {SAC} right)} right) = left( {SB;BH} right) = widehat {BSH} = 30^circ $
Từ đó ta có ${V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ABC}} = 2{V_{B.SAC}}$
Xét $Delta SHB$ vuông tại $H$ ta có $sin widehat {BSH} = frac{{BH}}{{SB}} Rightarrow sin 30^circ = frac{{BH}}{a} Leftrightarrow BH = frac{a}{2}$
Ta có ${V_{B.SAC}} = frac{1}{3}BH.{S_{Delta SAC}} = frac{1}{3}.frac{a}{2}.frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4} = frac{{{a^3}sqrt 3 }}{{24}}$
Vậy ${V_{S.ABCD}} = 2{V_{B.SAC}} = 2.frac{{{a^3}sqrt 3 }}{{24}} = frac{{{a^3}sqrt 3 }}{{12}}$.
Câu 45: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $left( S right):{left( {x - 1} right)^2} + {left( {y + 2} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 4$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $Aleft( {1;0; - 2} right),$ nhận $overrightarrow u = left( {1;a;1 - a} right)$ (với $a in mathbb{R}$) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng $d$ cắt $left( S right)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $left( S right)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi ${a^2}$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $left( {frac{1}{2};frac{3}{2}} right)$. B. $left( {frac{3}{2};2} right)$. C. $left( {7;frac{{15}}{2}} right)$. D. $left( {0;frac{1}{4}} right)$.
Lời giải
Chọn B
Mặt cầu $left( S right)$ có tâm $Ileft( {1; - 2; - 1} right)$, bán kính $R = 2$
Gọi $B,C$ là giao điểm giữa $d$ và $left( S right)$, và $O$ là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến hai mặt tiếp diện.
Theo đề $d$ cắt $left( S right)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $left( S right)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau, nghĩa là tứ giác $OBIC$ là hình vuông, từ đó suy ra $BC = 2sqrt 2 $
Gọi $H$ là trung điểm $BC$ suy ra $BH = frac{{BC}}{2} = sqrt 2 $
Kẻ $IH bot BC$, ta có $IH = sqrt {I{B^2} - B{H^2}} = sqrt 2 $
Từ đó ta có $dleft( {I;d} right) = sqrt 2 $
Ta có $overrightarrow {AI} = left( {0; - 2;1} right)$, $overrightarrow u = left( {1;a;1 - a} right)$ suy ra $left[ {overrightarrow {AI} ;overrightarrow u } right] = left( {a - 2;1;2} right)$
Từ đó ${text{d}}left( {I;d} right) = sqrt 2 Leftrightarrow frac{{left| {left[ {overrightarrow {AI} ;overrightarrow u } right]} right|}}{{left| {overrightarrow u } right|}} = sqrt 2 Leftrightarrow frac{{sqrt {{{left( {a - 2} right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }}{{sqrt {1 + {a^2} + {{left( {1 - a} right)}^2}} }} = sqrt 2 Leftrightarrow {a^2} = frac{5}{3} in left( {frac{3}{2};2} right)$.
Câu 46: Trên tập số phức, xét phưong trình ${z^2} + az + b = 0,,left( {a,b in mathbb{R}} right)$. Có bao nhiêu cặp số $left( {a,b} right)$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn $left| {{z_1} - 2} right| = 2$và $left| {{z_2} + 1 - 4i} right| = 4$?
A. 2. B. 3. C. 6. D. 4.
Lời giải
Chọn D
Ta có $Delta = {a^2} - 4b$
TH1. $Delta > 0 Rightarrow {z_1},{z_2} in mathbb{R}$ $left| {{z_1} - 2} right| = 2 Leftrightarrow left[ begin{gathered} {z_1} - 2 = 2 hfill {z_1} - 2 = - 2 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} {z_1} = 4 hfill {z_1} = 0 hfill end{gathered} right.$
$left| {{z_2} + 1 - 4i} right| = 4 Rightarrow {left( {{z_2} + 1} right)^2} + 16 = 16 Leftrightarrow {z_2} + 1 = 0 Leftrightarrow {z_2} = - 1.$
Với ${z_1} = 4,{z_2} = - 1$ có $left{ begin{gathered} {z_1} + {z_2} = - a hfill {z_1}{z_2} = b hfill end{gathered} right. Rightarrow left{ begin{gathered} a = - 3,,left( {{text{tm}}} right) hfill b = - 4,,left( {{text{tm}}} right) hfill end{gathered} right.$
Với ${z_1} = 0,{z_2} = - 1$ có $left{ begin{gathered} {z_1} + {z_2} = - a hfill {z_1}{z_2} = b hfill end{gathered} right. Rightarrow left{ begin{gathered} a = 1,,left( {{text{tm}}} right) hfill b = 0,,left( {{text{tm}}} right) hfill end{gathered} right.$
Vậy TH1 có 2 cặp số $left( {a;b} right)$ thỏa mãn.
TH2. $Delta < 0 Rightarrow left{ begin{gathered} {z_1} = x + yi hfill {z_2} = x - yi hfill end{gathered} right.$
Vì $left{ begin{gathered} left| {{z_1} - 2} right| = 2 hfill left| {{z_2} + 1 - 4i} right| = 4 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} left| {x + yi - 2} right| = 2 hfill left| {x - yi + 1 - 4i} right| = 4 hfill end{gathered} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} {left( {x - 2} right)^2} + {y^2} = 4 hfill {left( {x + 1} right)^2} + {left( {y + 4} right)^2} = 16 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} {x^2} + {y^2} - 4x = 0{text{ }}left( 1 right) hfill {x^2} + {y^2} + 2x + 8y + 1 = 0{text{ }}left( 2 right) hfill end{gathered} right.$
Lấy (2) - (1) vế theo vế ta được: $6x + 8y + 1 = 0 Rightarrow y = frac{{ - 6x - 1}}{8}$
$ Rightarrow {x^2} + {left( {frac{{6x + 1}}{8}} right)^2} - 4x = 0$
$ Leftrightarrow 100{x^2} - 244x + 1 = 0$
$ Leftrightarrow left{ begin{gathered} {x_1} = frac{{61 + 4sqrt {231} }}{{50}} hfill {x_2} = frac{{61 - 4sqrt {231} }}{{50}} hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} {y_1} = frac{{ - 416 - 24sqrt {231} }}{{400}} hfill {y_2} = frac{{ - 416 + 24sqrt {231} }}{{400}} hfill end{gathered} right.$
Vậy TH2 có $2$ cặp số $left( {a;b} right)$ thỏa mãn.
Vậy có $4$ cặp số $left( {a;b} right)$ thỏa mãn.
Câu 47: Gọi $S$ là tập họp các giá trị nguyên của $y$ sao cho ứng với mỗi $y$, tồn tại duy nhất một giá trị $x in left[ {frac{3}{2};frac{9}{2}} right]$ thỏa mãn ${text{lo}}{{text{g}}_3}left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + y} right) = {text{lo}}{{text{g}}_2}left( { - {x^2} + 6x - 5} right)$. Số phần tử của $S$ là
A. 7. B. 1. C. 8. D. 3.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
$fleft( x right) = {log _3}left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + y} right) - {log _2}left( { - {x^2} + 6x - 5} right)$
$ Rightarrow f’left( x right) = frac{{3{x^2} - 12x + 9}}{{left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + y} right)ln 3}} + frac{{2x - 6}}{{left( { - {x^2} + 6x - 5} right)ln 2}}$
$ Leftrightarrow f’left( x right) = left( {x - 3} right)left[ {frac{{3x - 3}}{{left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + y} right)ln 3}} + frac{2}{{left( { - {x^2} + 6x - 5} right)ln 2}}} right]$
Xét trên tập $x in left[ {frac{3}{2};frac{9}{2}} right]$ thì ta dễ thấy
$f’left( x right) > 0$ với $x > 3$
$f’left( x right) < 0$ với $x < 3$
Nếu $x = 3$ thỏa mãn điều kiện.
Ta có $fleft( 3 right) = {log _3}y - 2;fleft( {frac{3}{2}} right) = {log _3}left( {frac{{27}}{8} + y} right) - {log _2}frac{7}{4}$;$fleft( {frac{9}{2}} right) = {log _3}left( {frac{{81}}{8} + y} right) - {log _2}frac{7}{4}$
TH1. $fleft( 3 right) > 0 Leftrightarrow y > 9 Rightarrow $Phương trình $fleft( x right) = 0$ vô nghiệm.
TH2. $fleft( 3 right) = 0 Leftrightarrow y = 9 Rightarrow $Phương trình có nghiệm duy nhất $x = 3.$
TH3. $fleft( 3 right) < 0$ hoặc $x = 3$ không thuộc tập xác định của phương trình, khi đó phương trình có nghiệm duy nhất $ Leftrightarrow left{ begin{gathered} fleft( {frac{3}{2}} right) < 0 hfill fleft( {frac{9}{2}} right) geqslant 0 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} {log _3}left( {frac{{27}}{8} + y} right) < {log _2}frac{7}{4} hfill {log _3}left( {frac{{81}}{8} + y} right) geqslant {log _2}frac{7}{4} hfill end{gathered} right. Rightarrow - 7,7 < y < - 0,9$
Do $y$ nguyên $ Rightarrow y in left{ { - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1} right}.$
Vậy số phần tử của $S$ là $8.$
Câu 48: Xét khối nón $left( mathcal{N} right)$ có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2. Khi $left( mathcal{N} right)$ có độ dài đường sinh bằng $2sqrt 3 $, thể tích của nó bằng
A. $2sqrt 3 pi $. B. $3pi $. C. $6sqrt 3 pi $. D. $pi $.
Lời giải
Chọn B
Gọi $H$ là tâm đường tròn đáy của $left( N right)$, đỉnh $S$
TH1: $I$ thuộc đoạn $SH$. Đặt $IH = x,,,left( {0 < x < 2} right)$, suy ra $AH = sqrt {I{A^2} - I{H^2}} = sqrt {4 - {x^2}} $
Ta có $S{A^2} = S{H^2} + H{A^2}$
Suy ra $12 = {left( {2 + x} right)^2} + 4 - {x^2} Leftrightarrow x = 1,left( {t.m} right)$
Suy ra $SH = 3,AH = sqrt 3 Rightarrow V = frac{1}{3}pi {R^2}h = frac{1}{3}pi .3.3 = 3pi $
TH2: $H$ thuộc đoạn $SI$. Đặt $IH = x,,,left( {0 < x < 2} right)$, suy ra $AH = sqrt {I{A^2} - I{H^2}} = sqrt {4 - {x^2}} $
Ta có $S{A^2} = S{H^2} + H{A^2}$
Suy ra ${left( {2sqrt 3 } right)^2} = {left( {2 - x} right)^2} + 4 - {x^2} Leftrightarrow x = - 1,$(loại)
Câu 49: Trong không gian $Oxyz$, xét mặt cầu $left( S right)$ có tâm $Ileft( {4;,8;,12} right)$ và bán kính $R$ thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $R$ sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của $left( S right)$ trong mặt phẳng $left( {Oyz} right)$ mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua $O$ và góc giữa chúng không nhỏ hơn $60^circ $?
A. $6$. B. $2$. C. $10$. D. $5$.
Lời giải
Chọn D
Giả sử 2 tiếp tuyến $OA,OB$, theo giả thiết suy ra $left( {overrightarrow {OA} ,,overrightarrow {OB} } right) geqslant 60^circ $. Suy ra $30^circ leqslant widehat {AOH} leqslant 60^circ $
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $left( {Oyz} right)$, suy ra $Hleft( {0;,8;,12} right)$, suy ra $OH = 4sqrt {13} $
Xét tam giác $OAH$ có: $HA = OHsin widehat {AOH} geqslant 4sqrt {13} sin 30^circ = 2sqrt {13} $
Ta có $2sqrt {13} leqslant HA < 2sqrt {39} $ $ Rightarrow 52 leqslant A{H^2} leqslant 156$
$ Rightarrow 52 + 16 leqslant A{H^2} + I{H^2} leqslant 156 + 16$
$ Rightarrow 68 leqslant I{A^2} leqslant 172 Rightarrow 68 leqslant {R^2} leqslant 172$ hay $8,24 leqslant R leqslant 13,11$.
Do $R$ là số nguyên $ Rightarrow R in left{ {9;,10;,…;,13} right}$.
Vậy có tất cả 5 giá trị của $R$.
Câu 50: Cho hàm số $fleft( x right) = {x^4} - 32{x^2} + 4$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng $left( { - 3;2} right)$ của phương trình $fleft( {{x^2} + 2x + 3} right) = m$ bằng $ - 4$?
A. 145. B. 142. C. 144. D. 143.
Lời giải
Chọn D
Phương trình ${x^2} + 2x + 3 = a,,left( {a in mathbb{R}} right)$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì ta có: ${x_1} + {x_2} = - 2$
Phương trình $fleft( {{x^2} + 2{text{x}} + 3} right) = mleft( 1 right)$ có tổng nghiệm bằng $ - 4$
$ Leftrightarrow $phương trình $left( 1 right)$ có nghiệm xảy ra ở trường hợp: 4 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4},,left( 2 right)$
( do khi đó: $left( {{x_1} + {x_2}} right) + left( {{x_3} + {x_4}} right) = - 2 + left( { - 2} right) = - 4,,$)
Đặt ${x^2} + 2x + 3 = t$
Điều kiện $,left( 2 right)$$ Leftrightarrow $Tìm $m$ để phương trình $fleft( t right) = m$ có 2 nghiệm $2 < t < 6,,,(2)$
Xét $fleft( t right) = {t^4} - 32{t^2} + 4$ $ Rightarrow f’left( t right) = 4{t^3} - 64t Rightarrow f’left( t right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{gathered} t = 0 hfill t = pm 4 hfill end{gathered} right.$
Yêu cầu bài toán $ Leftrightarrow - 252 < m < - 108$$ Rightarrow ,143$ số.
