CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến huyện Đại Từ
Tôi ghi tên dưới đây:
Số TT
Họ và tên
Ngày tháng năm sinh
Nơi công tác
Chức vụ
Trình độ chuyên môn
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến
1
Nguyễn Thị Hồng Vĩnh
20/11/1978
Trường THCS Phú Lạc - Đại Từ - Thái Nguyên
Giáo viên
Đại học
100%
Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Giải pháp nâng cao chất lượng dạy học giải bài toán về căn bậc hai trong môn đại số lớp 9 tại trường THCS Phú Lạc”.
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
+ Giảng dạy trong các giờ học chính khóa.
+ Ôn tập, phụ đạo học sinh, ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.
+ Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Trung học cơ sở.
- Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Sáng kiến đã được áp dụng tại trường THCS Phú Lạc vào tháng 10 năm 2021.
- Mô tả bản chất của sáng kiến:
Khái niệm căn bậc hai đã được giới thiệu ở lớp 7 và tiếp tục được vậndụng vào giải một số bài tập ở lớp 8. Do đó ở chương Căn bậc hai - Đại số 9 chỉ tập trung vào giới thiệu căn bậc hai số học và phép khai phương. Hai khái niệm này được giới thiệu gọn. Liên hệ giữa thứ tự và phép khai phương được mô tả rõ. Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai trình bày ngắn gọn về căn cứ lý thuyết. Tuy nhiên, nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở hình thành kĩ năng tính toán biến đổi hoặc chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích. Nhưng các bài tập lại ở mức độ phức tạp. Đòi hỏi học sinh cần phải có kĩ năng giải toán linh hoạt, biết áp dụng thêm kiến thức của lớp 8 như sử dụng kiến thức về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình chứa ẩn ở mẫu….để làm bài tập. Hai năm gần đây, bản thân tôi được phân công nhiệm vụ dạy môn toán 9 và ôn tập cho học sinh thi vào lớp 10 THPT. Trong các nội dung ôn tập theo chủ đề cho học sinh có chủ đề về căn bậc hai là một chủ đề rất quan trọng trong cấu trúc đề thi vào lớp 10 của Tỉnh Thái Nguyên. Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy còn một số bộ phận không nhỏ học sinh rỗng kiến thức về căn bậc hai, kĩ năng trình bày bài toán chưa chặt chẽ, chưa biết sâu chuỗi các kiến thức đã học học một cách đầy đủ và phân loại các dạng bài tập có liên quan, khi làm còn mắc phải nhiều sai lầm ở một số các dạng bài tập.Vì vậy tôi đã chọn nội dung sáng kiến: “ Giải pháp nâng cao chất lượng dạy học giải bài toán về căn bậc hai trong môn đại số lớp 9 tại trường THCS Phú Lạc”.
để nghiên cứu.
Qua sáng kiến, tôi đưa ra hệ thống kiến thức từ cơ bản đến nâng cao về căn bậc hai và các bài toán liên quan, nhằm giúp các em có đầy đủ kiến thức, tư duy tổng quát, logic và không cảm thấy khó học phần kiến thức này. Trong quá trình lĩnh hội các em có thể khắc phục được các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong kiểm tra, thi cử.
* Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nhiệm vụ chung: Nêu ra kiến thức cơ bản về căn bậc hai và các bài toán liên quan.
- Nhiệm vụ cụ thể:
+ Tìm hiểu thực trạng của học sinh.
+ Những phương pháp đã thực hiện.
+ Những chuyển biến sau khi áp dụng.
+ Rút ra bài học kinh nghiệm.
* Phương pháp nghiên cứu: Các tiết dạy theo thời khóa biểu chính khóa. Các tiết tự chọn, ôn tập, phụ đạo, bồi dưỡng học sinh, các buổi sinh hoạt chuyên môn, cùng với việc nghiên cứu tài liệu tham khảo và học hỏi đồng ngiệp. Phân tích, tổng hợp các số liệu đã thu thập được.
* Điểm mới của sáng kiến: Xây dựng được hệ thống các bài toán liên quan đến căn bậc hai.
* Đối tượng nghiên cứu:
- Giáo viên dạy toán trường THCS Phú Lạc, huyện Đại Từ, tỉnh Thái Nguyên.
- Học sinh khối 9 trường THCS Phú lạc, huyện Đại Từ, tỉnh Thái Nguyên.
* Phạm vi nghiên cứu:
- Các tiết dạy theo thời khóa biểu chính khóa.
- Các tiết tự chọn, ôn tập, phụ đạo và bồi dưỡng học sinh.
- Các buổi sinh hoạt chuyên môn.
* Thời gian nghiên cứu: Chuyên đề này tôi nghiên cứu qua hai giai đoạn
- Từ tháng 9 năm 2021 đến tháng 5 năm 2022.
- Từ tháng 9 năm 2022 đến tháng 4 năm 2023.
* Nội dung sáng kiến:
I. Những vấn đề chung
1. Căn bậc hai.
1.1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
1.2. Khái niệm căn bậc hai.
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là và một số âm ký hiệu là -.
* Định nghĩa căn bậc hai số học: Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a.
+ Chú ý: với a ≥ 0, ta có:
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 = a;
Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x =.
Ta viết: x=
+ Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương (gọi tắt là khai phương).
+ So sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số a và b không âm, ta có a < b
* Căn thức bậc hai:
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.
* Căn bậc ba: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
1.3. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai.
* Hằng đẳng thức:
1.4. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử hoặc tách hạng tử….
II. Các bài toán liên quan.
Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức.
Phương pháp:
- Sự xác định của các biểu thức chứa căn: xác định (hay có nghĩa) khi
- Nếu biểu thức có:
+ Chứa mẫu số ĐKXĐ: mẫu số khác 0
+ Chứa căn bậc chẵn ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0
+ Chứa căn thức bậc chẵn dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn lớn hơn 0
+ Chứa căn thức bậc lẻ dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn khác 0
Bài 1. Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
a) b) c)
Hướng dẫn:
a) Để xác định khi
b) Để xác định khi 3x - 1 ≥ 0 ⇔
c) ĐKXĐ: ⇔ ⇔
Bài 2. Tìm ĐKXĐ của biểu thức:
a) b)
c) d)
e)
Hướng dẫn:
a) ĐKXĐ: x - 1 ≥ 0 và x - 3 ≠ 0 ⇔ x ≥ 1 và x ≠ 3.
b) ĐKXĐ: x < 0 hoặc x > 0
c) ĐKXĐ:
d) ĐKXĐ:
e) ĐKXĐ: hoặc
* Lưu ý khi học sinh khi giải dạng toán này:
- Với biểu thức dạng xác định khi B 0. Do vậy khi áp dụng tìm điều kiện để xác định khi ⇒; B > 0 hoặc A ≤ 0; B < 0.
xác định khi A ≥ 0; B > 0.
xác định khi A > 0.
- Nghi nhớ quy tắc nhân: Khi nhân hai vế của bất phương trình với một số âm thì bất phương trình đổi chiều.
- Với dạng toán này, trong chương trình SGK và SBT có bài tập cụ thể, nhưng trong đề tuyển sinh vào 10 THPT thường tích hợp trong bài tập dạng 4, 5 của sáng kiến này.
Dạng 2: So sánh các giá trị chứa căn thức (Không dùng máy tính)
Phương pháp: Sử dụng định lý
- Với hai số a và b không âm, ta có a < b
Bài 1. So sánh:
a) 2 và b) 6 và
Hướng dẫn: Sử dụng phép biến đổi đưa một thừa số vào trong dấu căn.
a)
Vì nên 2 >
b)
Vì nên 6 <
Bài 2. a) So sánh và
b) Với a > 0 và b > 0, chứng minh
Hướng dẫn:
a) Ta có = ; = 5 + 3 = 8
Vì 8 = nên < .
b) Với a > 0, b > 0 ta có:
= a + b
(do > 0)
Do đó nên < nên
Bài 3. Với a dương, chứng minh .
Hướng dẫn:
Cách 1: (luôn đúng). Vậy
Cách 2: Với a > 0 nên . Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số a và ta có
* Lưu ý: Với dạng toán này, trong chương trình SGK các bài về so sánh các giá trị chứa căn được cho rời rạc, có một số bài khó, cần sử dụng một số tính chất của bất đẳng thức. Khi ôn tập và bồi dưỡng thì nên cho HS làm nhuần nhuyễn dạng toán so sánh cơ bản để từ đó làm nền tảng cho dạng toán chứng minh bất đẳng thức.
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức ( Rút gọn biểu thức căn bậc hai không chứa biến)
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau
- Bước 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
- Bước 2: Quy đồng mẫu thức (nếu có)
- Bước 3: Đưa biểu thức ra ngoài dấu căn
- Bước 4: Rút gọn biểu thức
Bài 1. Rút gọn biểu thức
a) b)
c) d)
Hướng dẫn:
a)
= = -6
b)
= = 3
c)
= -2
d)
=
= =
Bài 2. Đưa biểu thức ra ngoài dấu căn
a) b)
c) d)
Hướng dẫn:
a) = = = +
b) = = = +
c) = = = 3 - 2
d) = = = 2 -
Bài 3. Tính
a) A = b) B =
c)* M = - d)*N =
Hướng dẫn:
a) = =
b) = = -4
c)*M = -
d)*N =
Tương tự như ý C, ta có:
Bài 4. Rút gọn biểu thức
a) b)
c) d)
Hướng dẫn:
a) =
b)
c)
d)
* Lưu ý học sinh khi giải dạng toán này:
- Dạng toán này rất phong phú vì thế học sinh cần rèn luyện nhiều để nắm được “mạch bài toán” và tìm ra hướng đi đúng đắn, tránh các phép tính quá phức tạp.Học sinh phải hiểu rõ các phép biến đổi căn bậc hai, đặc biệt là sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học ở lớp 8.
- Với biểu thức dạng , GV cần phải lưu ý HS biến đổi biểu thức sao cho thỏa mãn a1 + a2 = a, áp dụng hai hằng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab+ b2 và (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. HS nếu hiểu rõ về hằng đẳng thức đáng nhớ (a + b)2 và (a - b)2 thì sẽ biến đổi dễ dàng; Đề tuyển sinh vào 10 THPT tỉnh Thái nguyên có khá nhiều năm cho vào dạng này ( 2012-2013; 2014-2015; 2015-2016) và gần đây nhất là đề tuyển sinh năm 2019 - 2020 thuộc câu 1: Chứng minh A = là một số nguyên .Bên cạnh đó giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh sử dụng máy tính cầm tay bằng cáchgiải phương trình bậc hai một ẩn để biến đổi biểu thức trong căn về dạng bình phương của một tổng hay một hiệu.
- Khi rút gọn biểu thức căn có phân số, cần lưu ý HS trước khi biến đổi xét xem biểu thức có: nhân tử chung không, có hằng đẳng thức không, có biểu thức liên hợp không, có quy đồng được không để tìm ra cách biến đổi phù hợp nhất.
- Từ dạng toán này, mở rộng sang dạng toán chứng minh đẳng thức chứa căn. Thực tế, bài toán chứng minh đẳng thức chứa căn cũng chỉ là bài toán rút gọn, ta chọn một vế bất kì rồi thu gọn cho bằng vế còn lại. Vẫn sử dụng phương pháp như dạng 3.
Ví dụ: Chứng minh đẳng thức:
Hướng dẫn: VT =
= (đpcm)
Dạng 4: Rút gọn biểu thức ( Rút gon biểu thức căn bậc hai có chứa biến).
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho (theo dạng 1)
- Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
- Bước 3: Quy đồng mẫu thức
- Bước 4: Rút gọn
Bài 1. Rút gọn biểu thức
a) b) c) d) B =
Hướng dẫn:
a) ĐKXĐ:
=
b) ĐKXĐ:
c) ĐKXĐ:
d) ĐKXĐ:
* Lưu ý: Đây là dạng bài tập khó, vì vậy với dạng toán này, ngoài việc phải xem xét kỹ trước khi biến đổi như dạng toán 3, thì cần lưu ý HS tìm ĐKXĐ. Bên cạnh đó khi thực hiện phép tính chú ý cho học sinh quy tắc đổi dấu để tìm được mẫu thức chung.
Dạng 5: Bài toán tổng hợp
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau
- Để tính giá trị của biểu thức biết ta rút gọn biểu thức rồi thay vào biểu thức vừa rút gọn.
- Để tìm giá trị của khi biết giá trị của biểu thức A ta giải phương trình
Bài 1. Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P =
Hướng dẫn:
a) ĐKXĐ: x ≠ ; x ≥ 0.
b) Để P = thì = 5x - 13 + 6 = 0 x = 4; x = (thỏa mãn)
Bài 2. Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P =
Hướng dẫn:
a) x ; x ≠ 1
=
b) Để P = = x = 1 (Không thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy không có giá trị nào của x để P =
Bài 3. Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P b) Tính khi x =
Hướng dẫn:
a) ĐKXĐ: x ≠ 1; x ≥ 0
=
b) Khi x = P =
Bài 4. Cho biểu thức: A =
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A với a = 9.
Hướng dẫn:
a) ĐKXĐ: a ≠ 4; a ≥ 0
=
b) Với a = 9 (Thỏa mãn ĐKXĐ) P =
* Lưu ý: Tất cả mọi tính toán, biến đổi đều dựa vào biểu thức đã rút gọn.
- Với bài toán kèm theo là tìm x để giá trị của biểu thức bằng a, ta đi giải phương trình có chứa căn thức. Đây là một dạng toán khó, là một chuyên đề của bồi dưỡng học sinh giỏi - Phương trình vô tỉ. Với dạng toán này thì trong chương trình SGK thường gặp một số bài toán cơ bản như (với a là hằng số) hoặc ;… Còn đối với bồi dưỡng học sinh giỏi thì còn có
dạng phương trình phức tạp hơn.
Ví dụ: Giải phương trình
a) (1)
Điều kiện: x ; (1) (Thỏa mãn)
b) (2)
Điều kiện: thỏa mãn với mọi x
(2)
c)* (3)
Điều kiện: x
(3) (Thỏa mãn)
d)* (4)
Điều kiện: x
Đặt (thỏa mãn)
(thỏa mãn)
e)* (5)
Điều kiện: .
Đặt t =
Với t = - 5 (loại)
Với t = 2 (thỏa mãn ĐK)
- Ngoài 2 bài toán kèm theo đã nêu trên thì còn có một số dạng bài như:
+ Giải bất phương trình: Tìm x để giá trị của biểu thức không âm, … So sánh biểu thức với một số hoặc một biểu thức khác, chứng minh giá trị của biểu thức…
+ Tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
+ Tìm x nguyên, x hữu tỉ để giá trị của biểu thức nguyên.
Ví dụ 1:Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P
Hướng dẫn:
a) ĐKXĐ: x ≠ 9; x ≥ 0
=
b) Để P < < - 0 ≤ x < 9
Ví dụ 2: Cho A= với x 0 , x4.
a) Rút gọn A.
b) So sánh A với
Hướng dẫn:
a) A =
b) ta xét:
Ví dụ 3: Cho A = với x0 , x1.
a) Rút gọn A.
b) Tìm GTLN của A.
Hướng dẫn:
a)A=
b)
Để A đạt GTLN đạt GTLN đạt GTNN (vì )
Vậy GTLN của A là
Ví dụ 4: Cho A=
a) Rút gọn A.
b) Tìm x Z để A Z
Hướng dẫn:
a) ĐKXĐ: x0 , x9, x4; A=
b) Để thì ⇔ 3 Ư(3) {1; 9; 25}
* Về khả năng áp dụng sáng kiến
Với sáng kiến “căn bậc hai và các bài toán liên quan”, tôi đã đưa ra hệ thống kiến thức về căn bậc hai và một số dạng toán liên quan cùng với cách phân tích, cách giải, lưu ý...Tuy nhiên phần kiến thức về căn bậc hai rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thức rộng, nhiều. Nên khi giảng dạy tôi đưa ra những bài toán ở dạng cơ bản trước để học sinh hiểu rõ phương pháp hoặc sắp xếp các bài theo mức độ từ dễ đến khó. Với học sinh đại trà chỉ yêu cầu các em nắm chắc kiến thức, dạng cơ bản, công thức biến đổi cơ bản biểu thức chứa căn thức bậc hai.... Sau đó chữa những lỗi sai học sinh thường mắc phải, cho bài tập áp dụng để học sinh thành thạo kỹ năng. Đối với học sinh khá giỏi, tôi cho các em làm những bài tập với mức độ vận dụng bậc cao, tìm ra những cách giải hay, khai thác bài toán…
Sáng kiến trên tôi đã áp dụng giảng dạy cho học sinh trong các tiết dạy trên lớp, các tiết tự chọn, ôn tập, phụ đạo, các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường, các buổi học ôn thi vào lớp 10 và thấy học sinh nắm chắc, hứng thú với dạng toán này và vận dụng tốt vào các dạng toán liênquan. Học sinh biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải các bài toán cụ thể.
- Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:Giáo viên dạy môn toán, có trình độ đào tạo đạt chuẩn; học sinh lớp 9 cấp THCS.
- Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến:
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng sáng kiến này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, biết vận dụng, phân tích và tìm tòi cách giải toán ở dạng bài tập này. Trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán. Sau khi xây dựng đề cương chi tiết của sáng kiến, áp dụng vào các giờ dạy ở các lớp 9A1, 9A1, 9A3 và ôn thi tuyển sinh vào 10 THPT năm học 2021 - 2022; Tôi tiếp tục vận dụng vào các giờ dạy luyện tập, ôn thi tuyển sinh vào 10 THPT ở lớp 9 năm học 2022 - 2023. Qua việc khảo sát chấm chữa các bài kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập học sinh giải đúng tăng lên. Tuy mới dừng lại ở các bài tập chủ yếu mang tính vận dụng, thông hiểu nhưng hiệu quả đem lại đã phán ảnh phần nào hướng đi đúng.
Sau gần 2 năm áp dụng sáng kiến trên tôi nhận thấy nhiều học sinh đã biết cách làm các bài toán về căn bậc hai, đặc biệt các em học sinh trung bình và học sinh yếu cũng đã có ý thức học tập và biết cánh làm một số các dạng bài tập, đặc biệt là với dạng bài tập rút gọn căn bậc hai không chứa biến. Vì thế mà chất lượng bộ môn toán lớp 9 đã được nâng lên.
Khối 9 năm học 2022 - 2023 sĩ số gồm 96 học sinh.
HS biết tìm hướng làm bài tập
HS chưa biết tìm hướng làm bài tập
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
Kết quả trước khi áp dụng SK
44
45,8
52
54,2
Kết quả sau khi áp dụng SK
78
81,8
18
18,7
+ Số học sinh đạt dưới 1điểm khi thi vào lớp 10 chiếm tỉ lệ ít và điểm trung bình của học sinh đạt được mặc dù chưa cao song cũng đã tăng hơn năm trước. Thứ hạng thi vào 10 THPT của nhà trường trong toàn huyện đã được cải thiện, tăng 8 bậc so với năm học 2020 - 2021.
Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
Phú Lạc, ngày 20 tháng 4 năm 2023
Người nộp đơn
Nguyễn Thị Hồng Vĩnh
ĐÁNH GIÁ CỦA NHÀ TRƯỜNG
Tổng điểm:…..
Xếp loại:……..
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN HUYỆN ĐẠI TỪ
Tổng điểm:…..
Xếp loại:……..
