1. Ứng dụng hình học của tích phân trong tính diện tích hình phẳng

1.1 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

- Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được tính bởi công thức: $large S=int_{a}^{b}|f(x)|dx$- Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tụ...

1.2 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

- Cho hai hàm số y = f1(x); y = f2(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f1(x); y = f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức: $large S=int_{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|dx$- Chú ý: Nếu hiệu f1(x) - f2(x) không đổi dấu trê đoạn [a;b] thì: $large S=int_{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}|dx=left|int_{a}^{b}f_{1}(x)-f_{2}dx right|$- Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = sinx; y = cosx và hai đường thẳng x = 0; x = $large pi $/4Diện tích hình phẳng cần tính là: $large S=int_{0}^{frac{pi }{4}}|sinx-cosx|dx=int_{0}^{frac{pi }{4}}(cosx-sinx)dx $$large =(sinx + cosx)|_{0}^{frac{pi }{4}}=sqrt{2}-1 $

2. Ứng dụng hình học của tích phân để tính thể tích vật thể

2.1 Tính thể tích của vật thể

Trong không gian, cho một vật thể nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ($large aleq xleq b $) cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích S(x). Khi đó, nếu S(x) là hàm số liên tục trên [a; b] thì thể tích của vật thể được tính bằng công thức: $large V=int_{a}^{b}S(x)dx$

2.2 Tính thể tích khối tròn xoay

Cho y = f(x) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Quay D xung quanh trục Ox ta được một hình khối gọi là khối tròn xoay.Cắt khối tròn xoay trên bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x với x $large in $ [a; b], ta được mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng f(x) và diện tích là S(x) = $large pi f^{2}(x) $. Vậy khối tròn xoay có thể tích là: $large V=pi int_{a}^{b}f^{2}(x)dx$Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm với khóa học PAS THPT!

3. Giải bài tập áp dụng ứng dụng hình học của tích phân

3.1 Bài tập sách toán 12 kết nối tri thức

Bài 4.14 trang 25 sgk toán 12/2 kết nối tri thứcDiện tích cần tính là:$large S=int_{0}^{4}|5x-x^{2}-x|dx=int_{0}^{4}|4x-x^{2}|dx$$large =int_{0}^{4}(4x-x^{2})dx=(2x^{2}-frac{x^{3}}{3})|_{0}^{4}=frac{32}{3}$Bài 4.15 trang 25 sgk toán 12/2 kết nối tri thứca) Diện tíc...

3.2 Bài tập sách toán 12 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 27 sgk toán 12/2 chân trời sáng tạoa) Diện tích cần tính là: $large S=int_{-1}^{1}|e^{x}|dx=int_{-1}^{1}e^{x}dx=e^{x}|_{-1}^{1}=e-frac{1}{e}=frac{e^{2}-1}{e}$b) Diện tích cần tính là: $large S=int_{1}^{2}|x+frac{1}{x}|dx=int_{1}^{2}(x+fra...

3. Bài tập sách toán 12 cánh diều

Bài 1 trang 40 sgk toán 12/2 cánh diềuĐáp án đúng: B Bài 2 trang 40 sgk toán 12/2 cánh diềuĐáp án đúng: BBài 3 trang 40 sgk toán 12/2 cánh diềua) Hình phẳng được tô màu trên Hình 29 được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex, trục Ox và hai đường thẳng x...