[Tối Ưu] Nhân tử Lagrange với đẳng thức
1.1. Phát biểu bài toán
Tìm cực trị của hàm số đa biến $color{#0c7f99}f(mathbf{x})$ thoả mãn điều kiện hàm đa biến $color{#bc2612}g(mathbf{x})=c$ với $c$ là hằng số: $$ begin{aligned} text{maximize (or minimize)}&color{#0c7f99}f(mathbf{x}) crtext{subject to:}~&color{#bc2612}g(mathbf{x}) = c end{aligned} $$
1.2. Ứng dụng kỹ thuật nhân tử Lagrange
Để giải quyết bài toàn này, ta sử dụng kỹ thuật Lagrange như sau:Nếu bạn để ý một chút thì phương trình ở bước 2 tương đương với hệ phương trình sau: $$ begin{cases} nablatextcolor{#0c7f99}{f(mathbf{x})} &= textcolor{#0d923f}lambdanablatextcolor{#bc2612}{g(mathbf{x})} cr color{#bc2612}g(mathbf{x}) &= color{#bc2612}c end{cases} $$Bởi: $$ nablamathcal{L}(mathbf{x},textcolor{#0d923f}lambda)= begin{bmatrix} dfrac{partialmathcal{L}}{partialmathbf{x}} crcr dfrac{partialmathcal{L}}{partialmathbf{textcolor{#0d923f}lambda}} end{bmatrix}= begin{bmatrix} nablatextcolor{#0c7f99}{f(mathbf{x})}-textcolor{#0d923f}lambdanablatextcolor{#bc2612}{g(mathbf{x})} cr color{#bc2612}g(mathbf{x})-c end{bmatrix} $$Tức là ở đây, khi giải bằng tay bạn có thể làm ngơ hàm $mathcal{L}(mathbf{x},textcolor{#0d923f}lambda)$ mà vẫn giải tốt. Tuy nhiên, việc biểu diễn qua hàm Lagrangian này sẽ giúp ta dễ dàng sài luôn được các cách giải phổng thông khác và các chương trình máy tính có sẵn.
1.3. Ví dụ minh họa
Bài toán:Giả sử nhà máy của bạn sản suất thiết bị phụ tùng bằng thép. Chi phí nhân công mỗi giờ là $$20$ và giá 1 tấn thép là $$170$. Lợi nhuận $R$ được mô hình hoá như sau:$$R(h,s)=200h^{{2}/{3}}s^{{1}/{3}}$$ Trong đó:Hãy tính lợi nhuận lớn nhất có thể th...
2.1. Cái nhìn hình học
Chiếu đồ hình của $color{#0c7f99}f(mathbf{x})$ và $color{#bc2612}g(mathbf{x})=c$ qua dạng đường đồng mức (Contour Line). Đầu tiên ta có thể thấy rằng giá trị cực trị của hàm $color{#0c7f99}f(mathbf{x})$ bị ràng buộc bởi $color{#bc2612}g(mathbf{x})=c$ ch...
2.2. Gom lại thành 1 hàm
Từ hệ phương trình trên, Lagrange gom lại thành một phương trình Lagrangian duy nhất: $$mathcal{L}(x,y,textcolor{#0d923f}lambda)=textcolor{#0c7f99}{f(x,y)}-textcolor{#0d923f}lambdabig(textcolor{#bc2612}{g(x,y)-c}big)$$Để ý rằng, đạo hàm riêng theo $textcolor{#0d923f}lambda$ chính bằng điều kiện ràng buộc: $$mathcal{L}_{textcolor{#0d923f}lambda}(x,y,textcolor{#0d923f}lambda)=textcolor{#bc2612}{g(x,y)-c}$$ Đạo hàm theo $x,y$ là: $$ begin{cases} mathcal{L}_x(x,y,textcolor{#0d923f}lambda)=textcolor{#0d923f}lambdatextcolor{#bc2612}{g_x(x,y)} cr mathcal{L}_y(x,y,textcolor{#0d923f}lambda)=textcolor{#0d923f}lambdatextcolor{#bc2612}{g_y(x,y)} end{cases} $$ Gom lại ta sẽ có: $$nablatextcolor{#0c7f99}{f(x,y)}=textcolor{#0d923f}{lambda}nablatextcolor{#bc2612}{g(x,y)}$$Như vậy, bài toán của ta sẽ được biến đổi thành dạng tối ưu hàm $mathcal{L}$ không có điều kiện ràng buộc. Việc này tương đương với giải phương trình gradient của nó bằng véc-to $mathbf{0}$: $$nablamathcal{L}=mathbf{0}$$
2.3. Mở rộng
Từ phép biểu diễn như trên ta hoàn toàn có thể tổng quát cho trường hợp có nhiều đẳng thức ràng buộc, khi đó hàm $mathcal{L}$ được định nghĩa như sau: $$mathcal{L}(x,y,textcolor{#0d923f}lambda)=textcolor{#0c7f99}{f(x,y)}-sum_{i=1}^ntextcolor{#0d923f}{lambda_i}big(textcolor{#bc2612}{g_i(x,y)-c_i}big)$$Trong đó, $colo...
Bạn đã thích câu chuyện này ?
Hãy chia sẻ bằng cách nhấn vào nút bên trên
Truy cập trang web của chúng tôi và xem tất cả các bài viết khác!