Cực trị của hàm số là gì?

Lưu ý: Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu KHÔNG PHẢI là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lý thuyết: Điểm cực trị của hàm số

1. Định nghĩa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu

Giả sử hàm số f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K.Lưu ý:

2. Các định lý về cực trị hàm số

Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.Lưu ý:Định lý 2: Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

3. Số điểm cực trị của hàm số

Mỗi dạng hàm số có số điểm cực trị khác nhau, kết luận đưa ra có thể là: Không có điểm cực trị nào, có 1 điểm cực trị ở phương trình bậc 2, có 2 điểm cực trị ở phương trình bậc 3,...Lưu ý:

Cách tìm điểm cực trị của hàm số

Mỗi hàm số đều có một tính chất và cách tìm cực trị khác nhau., dưới đây là cách xác định điểm cực trị của dạng hàm số thường gặp trong các đề thi.

1. Tìm cực trị của hàm số bậc 2

Hàm số bậc 2 có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 2ax + b.

2. Xác định điểm cực trị của hàm số bậc 3

Hàm số bậc 3 có dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 3ax2 + 2bx + c → Δ’ = b2 - 3ac.Cách tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba:Ta có thể phân tích : y = f(x) = (Ax + B)f ‘(x) + Cx + D bằng cách chia đa thức f(x) cho đa thức f ‘(x).Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 và x2Ta có: f(x1) = (Ax1 + B)f ‘(x1) + Cx1 + D → f(x1) = Cx1 + D vì f ‘(x1) = 0Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f ‘(x2) = 0Kết luận: Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = Cx + D

3. Cách tính cực trị của hàm số bậc 4 (Hàm trùng phương)

Hàm số trùng phương có dạng: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b) và y’ = 0 x = 0 2ax^2 + b = 0 x = 0 x62 = -b/2a.

4. Cách xác định cực trị của hàm số lượng giác

Phương pháp tìm cực trị của hàm số lượng giác như sau:

5. Xác định điểm cực trị của hàm số logarit

Chúng ta cần phải thực hiện theo các bước sau:

Các dạng bài tập tìm điểm cực trị hàm số thường gặp

Các bài toán về cực trị xuất hiện thường xuyên trong các đề thi THPT Quốc Gia hằng năm. Nắm bắt được tình hình chung, Monkey đã tổng hợp 3 dạng bài toán thường gặp liên quan đến cực trị của hàm số, giúp bạn có thể dễ dàng ôn luyện hơn.

Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số

Có 2 cách thức để giải dạng bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số, bạn có thể theo dõi ngay bên dưới đây.Cách 1:Cách 2:Ví dụ:Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2.Hướng dẫn giải:Tập xác định D = R.Tính y' = 6x^2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1.Bảng biến thiên:Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm

Phương pháp giải:Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0. Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.Ví dụ:Cho hàm số y = x^3 - 3mx^2 +(m^2 - 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.Hướng dẫn giải:Tập xác định D = R. Tính y'=3x^2 - 6mx + m^2 - 1; y'' = 6x - 6m.Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 → ⇔ m = 1.

Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số

1. Đối với cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d, a ≠ 0. Khi đó, ta có: y' = 0 ⇔ 3ax^2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'y' = b^2 - 3ac.

2. Đối với cực trị của hàm số bậc bốn

Cho hàm số: y = ax^4 + bx^2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C). Khi đó, ta có: y' = 4ax^3 + 2bx; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x^2 = -b/2a.Ví dụ:Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu.Hướng dẫn giải:Ta có: y' = 3x2 + m → Hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y'= 0 có hai nghiệm phân biệt. Vậy m < 0.

Bài tập tìm cực trị của hàm số (tự luyện)

[FAQ] - Mọi người cũng hỏi về cực trị của hàm số

1. Điểm cực trị là x hay y?

Điểm cực trị gồm cả tọa độ (x, y), trong đó x là hoành độ cực trị, y là giá trị cực đại hoặc cực tiểu tương ứng.

2. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là gì?

Là điểm (x₀, y₀) mà tại đó hàm đạt giá trị cực đại, tức y₀ lớn hơn các giá trị lân cận.

3. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là gì?

Là điểm (x₀, y₀) mà tại đó hàm đạt giá trị cực tiểu, tức y₀ nhỏ hơn các giá trị lân cận.

4. Số điểm cực trị là gì?

Là số lượng điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 và hàm đổi dấu; thông thường hàm bậc 3 có 2 điểm cực trị, hàm bậc 4 có tối đa 3 điểm cực trị.

5. Làm sao biết hàm có cực đại hay cực tiểu?

Tính đạo hàm f’(x), tìm nghiệm f’(x) = 0, rồi xét dấu f’(x) để xác định điểm cực đại (tăng -> giảm) hay cực tiểu (giảm -> tăng).

6. Khoảng cách 2 điểm cực trị tính thế nào?

Sau khi tìm được 2 điểm cực trị (x1,y1) và (x2,y2), áp dụng công thức:

7. Khi nào hàm số không có cực trị?

Khi đạo hàm không đổi dấu hoặc phương trình f’(x) = 0 không có nghiệm thực.

Tóm tắt nội dung "Cực trị của hàm số" (Mind-Map)

Trên đây là tất cả các kiến thức về cực trị của hàm số mà Monkey muốn chia sẻ đến bạn đọc. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp ích cho bạn phần nào việc ôn tập cho các kỳ thi sắp tới. Xin được đồng hành cùng bạn!