Góc giữa hai đường thẳng là gì?

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, trong đó hai góc đối đỉnh bằng nhau và hai góc kề bù có tổng bằng 180°. Góc giữa hai đường thẳng là góc không vượt quá 90° trong các góc được tạo thành. Nếu ký hiệu góc này là φ thì:0° ≤ φ ≤ 90°Khi hai đường thẳng song ...

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo vectơ pháp tuyến

Xét hai đường thẳng ở dạng tổng quát:[d_1: a_1x+b_1y+c_1=0][d_2: a_2x+b_2y+c_2=0]Hai vectơ pháp tuyến tương ứng là (vec{n}_1=(a_1;b_1),vec{n}_2=(a_2;b_2)). Nếu φ là góc giữa d1 và d2, công thức cần dùng là:[cosvarphi= frac{left|a_1a_2+b_1b_2right|} {sqrt{a_1^2+b_1^2}sqrt{a_2^2+b_2^2}}]Giá trị tuyệt đối bảo đảm cos φ ≥ 0, phù hợp với quy ước 0° ≤ φ ≤ 90°. Ngoài ra, một đường thẳng có thể nhận n hoặc −n làm vectơ pháp tuyến. Nếu không lấy giá trị tuyệt đối, việc đổi hướng một vectơ có thể làm cosin đổi dấu dù hai đường thẳng không thay đổi.Từ công thức trên, có thể nhận ra nhanh hai trường hợp đặc biệt:Ví dụ minh họaVí dụ: Tính góc giữa d1: 3x − 4y + 1 = 0 và d2: x + y − 2 = 0.Hai vectơ pháp tuyến là n1 = (3; −4) và n2 = (1; 1). Khi đó:[cosvarphi= frac{|3cdot1+(-4)cdot1|} {sqrt{3^2+(-4)^2}sqrt{1^2+1^2}} = frac{1}{5sqrt2} = frac{sqrt2}{10}]Suy ra φ ≈ 81,87°. Khi sử dụng máy tính, cần đặt đơn vị góc ở chế độ độ trước khi bấm cos−1.

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo vectơ chỉ phương

Nếu u1​, u2​ lần lượt là hai vectơ chỉ phương của d1​, d2​, ta có: [cosvarphi= frac{left|vec{u}_1cdotvec{u}_2right|} {left|vec{u}_1right|left|vec{u}_2right|}]

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo hệ số góc

Nếu hai đường thẳng không song song với trục Oy và được viết dưới dạng:d1: y = k1x + b1d2: y = k2x + b2thì k1 và k2 lần lượt là hệ số góc. Góc φ giữa hai đường được tính bằng:[tanvarphi=left|frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}right|,1+k_1k_2ne0]Công thức này được suy ra từ công thức tang của hiệu hai góc tạo bởi mỗi đường thẳng với chiều dương của trục Ox. Nếu 1 + k1k2 = 0 thì hai đường thẳng vuông góc và φ = 90°; không thực hiện phép chia cho 0.Phương pháp hệ số góc không áp dụng trực tiếp khi có đường thẳng đứng dạng x = a, vì đường này không có hệ số góc xác định. Trong trường hợp đó, công thức vectơ pháp tuyến là lựa chọn phù hợp hơn.Ví dụ minh họaVí dụ: Tính góc giữa d1: y = 2x + 1 và d2: y = (1/3)x − 2.Ta có k1 = 2 và k2 = 1/3. Do đó:[tanvarphi = left| frac{frac13-2}{1+2cdotfrac13} right| = 1]Vì 0° ≤ φ ≤ 90°, suy ra φ = 45°.

Cách tính góc giữa hai đường thẳng theo từng dạng phương trình

Việc lựa chọn đúng công thức giúp giảm số bước biến đổi và hạn chế sai sót. Một lỗi phổ biến khi tính góc là chuyển đổi phương trình dù dữ kiện ban đầu đã cung cấp sẵn vectơ phù hợp. Có thể lựa chọn công thức theo dạng phương trình được cung cấp như sa...

Ví dụ với đường thẳng dạng tham số

Với phương trình tham số của đường thẳng, có thể xác định trực tiếp vectơ chỉ phương để tính góc giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng:d1: x = 1 + 2t; y = −1 + td2: 2x − y + 3 = 0Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương u1 = (2; 1). Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến (2; −1), nên có thể chọn vectơ chỉ phương u2 = (1; 2).[cosvarphi= frac{|2cdot1+1cdot2|} {sqrt{2^2+1^2}sqrt{1^2+2^2}} = frac45]Vậy (varphi=arccosleft(frac45right)approx36{,}87^circ).

Ghi chú thuật ngữ

Dạng bài tìm tham số m để góc giữa hai đường thẳng bằng giá trị cho trước

Với bài toán tìm m để góc bằng α, quy trình thường gồm bốn bước:Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương hoặc hệ số góc theo m.Bước 2: Thay cos α hoặc tan α vào công thức phù hợp.Bước 3: Xử lý giá trị tuyệt đối, căn thức và giải phương trình theo m....

Bài tập về góc giữa hai đường thẳng lớp 10

Bài tập 1

Tính góc giữa d1: 3x + 4y − 1 = 0 và d2: 4x − 3y + 2 = 0.Hướng dẫn: Hai vectơ pháp tuyến là (3; 4) và (4; −3). Tích vô hướng bằng 3·4 + 4·(−3) = 0.Đáp án: 90°.

Bài tập 2

Tính góc giữa d1: y = 3x − 2 và d2: y = x + 4.Hướng dẫn:[tanvarphi = left| frac{1-3}{1+3cdot1} right| = frac12]Đáp án: (varphi=arctanleft(frac12right)approx26{,}57^circ).

Bài tập 3

Cho d1: x = 2 + t; y = 1 + t và d2: y = 0. Tính góc giữa d1 và d2.Hướng dẫn: Hai vectơ chỉ phương có thể chọn là (1; 1) và (1; 0). Khi đó cos φ = 1/√2.Đáp án: 45°.

Bài tập 4

Tìm m để dm: (m − 1)x + 2y + 1 = 0 vuông góc với d: x − y = 0.Hướng dẫn: Hai vectơ pháp tuyến là (m − 1; 2) và (1; −1). Điều kiện vuông góc là tích vô hướng bằng 0.(m − 1) − 2 = 0 ⇔ m = 3Đáp án: m = 3.

Bài tập 5

Tìm m để dm: (m + 1)x + (m − 1)y + 2 = 0 tạo với d: x + y = 0 một góc 45°.Hướng dẫn: Áp dụng công thức cosin với hai vectơ pháp tuyến (m + 1; m − 1) và (1; 1):[frac{|2m|} {sqrt{2m^2+2}sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}]Bình phương hai vế, rút gọn rồi thử lại nghiệm. [frac{|m|}{sqrt{m^2+1}} = frac{sqrt{2}}{2}]Sau đó: (frac{m^2}{m^2+1} = frac{1}{2}).Suy ra: (m^2=1), nên (m=pm1).Đáp án: m = 1 hoặc m = −1.