1. Định nghĩa đường cao

Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.Trong hình 1, đoạn thẳng MH là một đường cao của tam giác MNE. Ta nói MH là đường cao xuất phát từ đỉnh M (của tam giác MNE).Đôi khi ta cũng gọi đường thẳng MH là một đường cao của tam giác MNE.Một tam giác có ba đường cao.

2. Tính chất ba đường cao của tam giác

Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.Cụ thể, theo hình 2, ba đường cao MI, NK, EP của tam giác MNE cùng đi qua (đồng quy tại) điểm H. Điểm H gọi là trực tâm của tam giác MNE.

3. Tính chất đường cao trong tam giác cân, tam giác đều

Trong tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy.Ngoài ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.Ngược lại nếu như một tam giác các có đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến hoặc phân giác thì tam giác đó chính là tam giác cân.Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

4. Tính chất đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao ứng với cạnh góc vuông còn lại.Khi đó, trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của tam giác vuông đó.

5. Các dạng bài tập cơ bản về tính chất đường cao trong tam giác

5.1. Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Bài 1: Cho tam giác DMP vuông cân tại M. Trên đoạn thẳng DM lấy điểm N, trên tia đối của tia MP lấy điểm H sao cho MN = MH. Chứng minh PN vuông góc với DH. Kéo dài HN cắt DP tại K.Vì tam giác DMP vuông cân tại M nên .Xét tam giác HMN vuông tại M có MH = MN nên tam giác HMN vuông cân tại H (hai góc đối đỉnh)Xét tam giác DNK có: Suy ra NK DKHay HK DPXét tam giác DHP có hai đường cao DM...

5.2. Dạng 2: Áp dụng tính chất đường cao trong tam giác

Bài 1: Cho tam giác DMN cân tại D, có đường cao DK. Biết DM = DN = 5cm, MN = 6cm. Tính độ dài đoạn thẳng DK. Tam giác DMN cân tại D, có DK là đường cao suy ra DK là đường trung tuyến của tam giác DMN.Hay K là trung điểm của MN MK = KN = = 3cmXét tam giác DKN vuông tại K có:DK2 + KN2 = DN2 DK2 + 32 = 52 DK2 = 52 - 32 DK2 = 16 DK = 4cmVậy độ...