Bổ đề: Bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng khi và chỉ khi $overrightarrow{OD}=moverrightarrow{OA}+noverrightarrow{OB}+poverrightarrow{OC}$ với $O$ là điểm bất kì và $m,n,p$ là các số thực sao cho $m+n+p=1.$

Chứng minh chiều thuận, chiều nghịch các em biến đổi ngược lại chứng minh dưới đâyVì $A,B,C,D$ đồng phẳng nên $overrightarrow{AD}=noverrightarrow{AB}+poverrightarrow{AC}Rightarrow overrightarrow{OD}-overrightarrow{OA}=nleft( overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA} right)+pleft( overrightarrow{OC}-overrightarrow{OA} right)$$Leftrightarrow overrightarrow{OD}=left( 1-n-p right)overrightarrow{OA}+noverrightarrow{OB}+poverrightarrow{OC}.$ Đặt $m=1-n-p$ ta có $overrightarrow{OD}=moverrightarrow{OA}+noverrightarrow{OB}+poverrightarrow{OC}$ và $m+n+p=1.$Ngược lại nếu bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng khi đó $xoverrightarrow{AB}+yoverrightarrow{AC}+zoverrightarrow{AD}=overrightarrow{0}Leftrightarrow x=y=z=0.$

>>Xem thêm: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Định lí menelaus cho 3 điểm thẳng hàng $dfrac{FA}{FB}.dfrac{DB}{DC}.dfrac{EC}{EA}=1$ với $DEF$ là một đường thẳng cắt ba đường thẳng $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F.$Ta cùng xét bài toán (ta tạm gọi là định lí menelaus trong không gian):Cho tứ diện $ABCD.$ Xét bốn điểm $M,N...

KIẾN THỨC BỔ SUNG DÀNH CHO CÁC KÌ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC, ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐƯỢC PHÁT HÀNH TRONG CHƯƠNG X KHÓA PRO X VÀ MỘT PHẦN KHÓA XMAX

Trong quá trình học, các em hỏi mọi bài tập tại địa chỉ: https://askmath.vn/ (chỉ ưu tiên trả lời 100% học sinh vted)Hệ thống câu hỏi bài tập trong đề thi, đính kèm mỗi bài học cũng như giải đáp tất cả các thắc mắc câu hỏi bài tập đi kèm của khóa học qu...

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 - Chương trình SGK mới)Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

KIẾN THỨC BỔ SUNG DÀNH CHO CÁC KÌ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC, ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐƯỢC PHÁT HÀNH TRONG CHƯƠNG X KHÓA PRO X VÀ MỘT PHẦN KHÓA XMAX

Ví dụ 5: Trong không gian cho 3 tia $Ox,Oy,Oz$ thoả mãn $widehat{xOy}={{60}^{0}},widehat{yOz}={{90}^{0}},widehat{zOx}={{120}^{0}}.$ Trên 3 tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt lấy 3 điểm $A,B,C$ khác $O$ sao cho $dfrac{1}{OA}+dfrac{1}{OB}+dfrac{1}{OC}=1.$ Chứng minh rằng mặt phẳng $(ABC)$...

Ví dụ 12: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O.$ Xét mặt phẳng $left( P right)$ thay đổi cắt các tia $SA,SB,SC,SD,SO$ lần lượt tại $M,N,P,Q$ và $I.$

a) Chứng minh rằng $dfrac{SA}{SM}+dfrac{SC}{SP}=dfrac{SB}{SN}+dfrac{SD}{SQ}=dfrac{2SO}{SI}.$b) Khi $left( SAC right)bot left( SBD right).$ Chứng minh $dfrac{1}{{{d}^{2}}left( O,left( SAB right) right)}+dfrac{1}{{{d}^{2}}left( O,left( SCD right) right)}=d...

Ứng dụng khác của véctơ

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc và $AB=4,AC=8,AD=12.$a) Gọi $X$ là trọng tâm tứ diện $ABCD.$ Tính độ dài $XA.$b) Xét điểm $M$ thay đổi trong không gian. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=sqrt{7}MA+sqrt{11}MB+sqrt{23}MC+sqrt{43}MC.$Giải. a) Ta có [overrightarrow{XA}+ov...