Góc Giữa Hai Mặt Phẳng

Trong hình học không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng là một trong những kiến thức quan trọng giúp bạn hiểu sâu mối quan hệ giữa các mặt phẳng, vectơ pháp tuyến và giao tuyến của chúng.

Từ việc nắm vững định nghĩa, công thức đến cách áp dụng vào bài toán thực tế, bạn sẽ thấy mọi thứ trở nên logic và dễ nhớ hơn rất nhiều.

Bài viết này không chỉ giúp bạn hiểu bản chất góc giữa hai mặt phẳng, mà còn hướng dẫn cách tính nhanh, mẹo tránh sai lầm và ví dụ minh họa có lời giải chi tiết — nền tảng vững chắc để chinh phục mọi dạng bài trong đề thi THPT Quốc gia.

1. Góc giữa hai vectơ

1.1. Định nghĩa

Cho hai vectơ $vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ và $vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$ trong không gian $Oxyz$.Góc giữa hai vectơ là góc nhọn $alpha$ thỏa mãn:

$cos (vec a,vec b) = frac{{vec a cdot vec b}}{{|vec a| cdot |vec b|}}$ $ = frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} cdot sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}$

Trong đó:

• $vec{a} cdot vec{b}$ là tích vô hướng giữa hai vectơ.
• $|vec{a}|$ và $|vec{b}|$ là độ dài của các vectơ tương ứng.
• Góc $alpha$ được chọn trong khoảng $0° < alpha < 180°$.

2.2. Ý nghĩa hình học

• Nếu hai vectơ cùng hướng, ta có $alpha = 0°$.
• Nếu hai vectơ vuông góc, ta có $alpha = 90°$.
• Nếu hai vectơ ngược hướng, ta có $alpha = 180°$.

Công thức trên là nền tảng cho toàn bộ phần “Góc giữa hai mặt phẳng”, vì mặt phẳng nào cũng được xác định bởi một vectơ pháp tuyến.

2. Góc giữa hai mặt phẳng

2.1. Định nghĩa

Cho hai mặt phẳng:

$(P):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$

$(Q):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$

Vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng lần lượt là: $overrightarrow {{n_P}} = ({A_1};{B_1};{C_1}),$ $overrightarrow {{n_Q}} = ({A_2};{B_2};{C_2})$

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.Ký hiệu góc giữa hai mặt phẳng là $((P), (Q)) = alpha$.

2.2. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Công thức tổng quát: $cos ((P),(Q)) = frac{{|overrightarrow {{n_P}} cdot overrightarrow {{n_Q}} |}}{{|overrightarrow {{n_P}} | cdot |overrightarrow {{n_Q}} |}}$ $ = frac{{|{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}|}}{{sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} cdot sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}$

Trong đó:

• Tích vô hướng $vec{n_P} cdot vec{n_Q} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2$.
• $|vec{n_P}|, |vec{n_Q}|$ là độ dài hai vectơ pháp tuyến.
• Kết quả luôn lấy giá trị tuyệt đối, vì góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn $0° < alpha < 90°$.

2.3. Trường hợp đặc biệt

• Nếu hai mặt phẳng song song: $vec{n_P} // vec{n_Q} Rightarrow alpha = 0°$
• Nếu hai mặt phẳng vuông góc: $vec{n_P} perp vec{n_Q} Rightarrow alpha = 90°$
• Nếu hai mặt phẳng cắt nhau: Góc giữa chúng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến, hoặc góc giữa hai đường vuông góc với giao tuyến của chúng.

3. Các bước giải bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng

Để tính được góc giữa hai mặt phẳng, bạn có thể thực hiện tuần tự theo 4 bước sau:

Bước 1. Xác định phương trình hai mặt phẳng

Viết hai phương trình mặt phẳng theo dạng tổng quát: $(P):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0,$ $(Q):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$

Bước 2. Xác định vectơ pháp tuyến

Từ mỗi phương trình, rút ra vectơ pháp tuyến: $overrightarrow {{n_P}} = ({A_1};{B_1};{C_1}),$ $overrightarrow {{n_Q}} = ({A_2};{B_2};{C_2})$

Bước 3. Áp dụng công thức

Từ đó, tính được $alpha = ((P),(Q)) = arccos(cos((P),(Q)))$

Bước 4. Kết luận và biểu diễn kết quả

Góc $alpha$ được biểu diễn bằng độ hoặc radian, thường làm tròn đến một chữ số thập phân.

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng: $(P):x - y + z - 3 = 0$ và $(Q):2x + y - 2z - 3 = 0$

Giải

• Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $vec{n_P} = (1; -1; 1)$
• Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $vec{n_Q} = (2; 1; -2)$

Áp dụng công thức:

$cos ((P),(Q)) = frac{{|overrightarrow {{n_P}} cdot overrightarrow {{n_Q}} |}}{{|overrightarrow {{n_P}} | cdot |overrightarrow {{n_Q}} |}}$ $ = frac{{|1.2 + ( - 1).1 + 1.( - 2)|}}{{sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} cdot sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }}$ $ = frac{{|2 - 1 - 2|}}{{sqrt 3 cdot 3}}$ $ = frac{1}{{3sqrt 3 }}$ $ = frac{{sqrt 3 }}{9}$

Ví dụ 2. Tính góc giữa hai mặt phẳng: $ (P): 2x - y + 2z - 1 = 0, quad (Q): x + y - z = 0 $

Giải

• $vec{n_P} = (2; -1; 2)$
• $vec{n_Q} = (1; 1; -1)$

Khi đó: $cos ((P),(Q)) = frac{{|overrightarrow {{n_P}} cdot overrightarrow {{n_Q}} |}}{{|overrightarrow {{n_P}} | cdot |overrightarrow {{n_Q}} |}}$ $ = frac{{|2.1 + ( - 1).1 + 2.( - 1)|}}{{sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} cdot sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }}$ $ = frac{{|2 - 1 - 2|}}{{3 cdot sqrt 3 }}$ $ = frac{{sqrt 3 }}{9}$

Suy ra: $ ((P),(Q)) approx 78.9° $

Ví dụ 3. Cho hai vectơ pháp tuyến: $ vec{n_1} = (sqrt{3}; 0; -1), quad vec{n_2} = (1; 0; -sqrt{3}) $. Tính góc giữa hai mặt phẳng tương ứng.

Giải:

Áp dụng công thức: $cos (({P_1}),({P_2})) = frac{{|overrightarrow {{n_1}} cdot overrightarrow {{n_2}} |}}{{|overrightarrow {{n_1}} | cdot |overrightarrow {{n_2}} |}}$ $ = frac{{|sqrt 3 .1 + 0.0 + ( - 1).( - sqrt 3 )|}}{{sqrt {{{(sqrt 3 )}^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} cdot sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - sqrt 3 )}^2}} }}$ $ = frac{{|sqrt 3 + sqrt 3 |}}{{sqrt 4 cdot sqrt 4 }}$ $ = frac{{2sqrt 3 }}{4}$ $ = frac{{sqrt 3 }}{2}$

Suy ra: $ ((P_1),(P_2)) = 30° $

5. Bài tập

Bài 1: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng: $ (P): x + 2y - 2z - 5 = 0, quad (Q): 2x - y + z + 3 = 0 $ Tính góc giữa $(P)$ và $(Q)$.

Bài 2: Cho hai mặt phẳng: $ (P): x - y + 2z - 4 = 0, quad (Q): 3x + y - z + 2 = 0 $ Hãy tính $((P),(Q))$ và nhận xét xem hai mặt phẳng này có song song, vuông góc hay cắt nhau.

Bài 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là: $ vec{n_1} = (1; -1; 0), quad vec{n_2} = (2; 2; -1) $

(Gợi ý: áp dụng công thức $cos((P),(Q)) = frac{|vec{n_1} cdot vec{n_2}|}{|vec{n_1}| cdot |vec{n_2}|}$)

6. Kết luận

Kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng là một phần không thể thiếu khi học Hình học không gian Oxyz. Việc nắm vững khái niệm vectơ pháp tuyến, hiểu công thức và quy trình tính toán sẽ giúp bạn giải nhanh, chính xác mọi dạng bài tập.

Nếu bạn đã hiểu phần này, bạn có thể tiếp tục tìm hiểu thêm về:

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
• Phương trình đường thẳng trong không gian

Mỗi nội dung đều có mối liên hệ chặt chẽ, tạo thành hệ thống kiến thức hoàn chỉnh cho phần Hình học tọa độ không gian lớp 12.

7. Câu hỏi thường gặp