Chuyên đề Tích phân Nguyên hàm – Bài tập mở rộng – Câu 195

Chuyên đề Tích phân Nguyên hàm - Bài tập mở rộng - Câu 195

Đề bài: Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = frac{1}{x^2+1}$ và $f(0) = 1$. Tính tích phân $I = int_0^1 f(x) dx$.

Giải chi tiết

Bước 1: Tìm hàm số $f(x)$

Ta có $f'(x) = frac{1}{x^2+1}$. Để tìm $f(x)$, ta lấy nguyên hàm của $f'(x)$: $$f(x) = int f'(x) dx = int frac{1}{x^2+1} dx$$ Nguyên hàm của $frac{1}{x^2+1}$ là $arctan(x)$. Do đó, $$f(x) = arctan(x) + C$$ trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Sử dụng điều kiện $f(0) = 1$ để tìm $C$: $$f(0) = arctan(0) + C = 0 + C = C$$ Vì $f(0) = 1$, nên $C = 1$. Vậy, hàm số $f(x)$ là: $$f(x) = arctan(x) + 1$$

Bước 2: Tính tích phân $I = int_0^1 f(x) dx$

Thay hàm $f(x)$ vừa tìm được vào biểu thức tích phân: $$I = int_0^1 (arctan(x) + 1) dx$$ Ta có thể tách tích phân này thành hai phần: $$I = int_0^1 arctan(x) dx + int_0^1 1 dx$$

Tính $int_0^1 1 dx$: $$int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1$$

Tính $int_0^1 arctan(x) dx$: Ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt: $u = arctan(x) implies du = frac{1}{x^2+1} dx$ $dv = dx implies v = x$

Áp dụng công thức tích phân từng phần $int u dv = uv - int v du$: $$int_0^1 arctan(x) dx = [x arctan(x)]_0^1 - int_0^1 x cdot frac{1}{x^2+1} dx$$

Tính $[x arctan(x)]_0^1$: $$[x arctan(x)]_0^1 = (1 cdot arctan(1)) - (0 cdot arctan(0)) = 1 cdot frac{pi}{4} - 0 = frac{pi}{4}$$

Tính $int_0^1 frac{x}{x^2+1} dx$: Đặt $t = x^2+1 implies dt = 2x dx implies x dx = frac{1}{2} dt$. Khi $x=0$, $t = 0^2+1 = 1$. Khi $x=1$, $t = 1^2+1 = 2$. $$int_0^1 frac{x}{x^2+1} dx = int_1^2 frac{1}{t} cdot frac{1}{2} dt = frac{1}{2} int_1^2 frac{1}{t} dt$$ $$frac{1}{2} int_1^2 frac{1}{t} dt = frac{1}{2} [ln|t|]_1^2 = frac{1}{2} (ln(2) - ln(1)) = frac{1}{2} (ln(2) - 0) = frac{1}{2} ln(2)$$

Kết hợp lại, ta có: $$int_0^1 arctan(x) dx = frac{pi}{4} - frac{1}{2} ln(2)$$

Bước 3: Tính giá trị cuối cùng của $I$

$$I = int_0^1 arctan(x) dx + int_0^1 1 dx = left(frac{pi}{4} - frac{1}{2} ln(2)right) + 1$$ $$I = 1 + frac{pi}{4} - frac{1}{2} ln(2)$$

Để tìm hiểu thêm về các bài tập tích phân và nguyên hàm nâng cao, bạn có thể tham khảo các bài viết sau: * Chuyên đề Tích phân Nguyên hàm - Bài tập mở rộng - Câu 189 * Chuyên đề Tích phân Nguyên hàm - Bài tập mở rộng - Câu 101 * Chuyên đề Tích phân Nguyên hàm - Bài tập mở rộng - Câu 103 * Chuyên đề Tích phân Nguyên hàm - Bài tập mở rộng - Câu 102 * Chuyên đề Tích phân Nguyên hàm - Bài tập mở rộng - Câu 132