Inscribed angle | Góc nội tiếp trong SAT Maths Geometry

Inscribed angle là gì?

Inscribed angle (góc nội tiếp) là một loại góc đặc biệt trong hình học đường tròn, được tạo bởi hai dây cung có chung một điểm đầu nằm trên đường tròn. Cụ thể, nếu ta có một đường tròn tâm O, và hai dây AB và AC cắt đường tròn tại các điểm B và C, còn đỉnh A nằm trên đường tròn, thì góc ∠BAC được gọi là inscribed angle.

Tính chất của Inscribed angle:

Tính chất quan trọng nhất của góc nội tiếp là nó bằng một nửa độ đo của cung bị chắn (intercepted arc). Nói cách khác, nếu góc ∠BAC chắn cung BC, thì:

[mangle BAC=frac12m(arcBC)]

Ngoài ra, góc nội tiếp cũng bằng một nửa góc ở tâm (central angle) chắn cùng cung. Nếu ∠BOC là góc ở tâm chắn cung BC, thì (mangle BAC=frac12mangle BOC.)

Từ tính chất này, ta có thể suy ra nhiều hệ quả quan trọng trong bài toán SAT Math Geometry, chẳng hạn như: các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau, hoặc tổng hai góc nội tiếp chắn hai cung đối nhau bằng 180°.

Các công thức liên quan tới Inscribed angle

Định lý góc nội tiếp

Nếu ∠ABC là góc nội tiếp chắn cung AC trên đường tròn, thì:

[mangle ABC=frac12m(arcAC)]

Nói cách khác, độ lớn của góc nội tiếp bằng một nửa độ lớn của cung mà nó chắn.Ví dụ: Nếu cung AC có số đo 100°, thì ∠ABC=50°.

Liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm (Central Angle)

Nếu ∠AOC là góc ở tâm chắn cùng cung AC với góc nội tiếp ∠ABC, thì:

[mangle ABC=frac12mangle AOC]

Điều này có nghĩa: góc nội tiếp luôn nhỏ bằng phân nửa góc ở tâm cùng chắn 1 cung.Ví dụ: Nếu ∠AOC=80°, thì ∠ABC=40°.

Các góc nội tiếp chắn cùng một cung bằng nhau

Nếu hai góc nội tiếp cùng chắn một cung, thì chúng có cùng số đo:

[m∠ABC=m∠ADC]

Ví dụ: Nếu hai góc ∠ABC và ∠ADC cùng chắn cung AC, thì cả hai góc đều bằng nhau — đây là cơ sở để suy ra các tam giác đồng dạng trong các bài hình học phức tạp.

Tổng hai góc nội tiếp chắn hai cung đối nhau

Hai góc nội tiếp chắn hai cung đối nhau (tổng hai cung = 360°) sẽ bù nhau:

[m∠ABC+m∠ADC=180°]

Ví dụ: Nếu ∠ABC=70°, thì ∠ADC=110°.Hệ quả này thường được áp dụng trong các bài toán về tứ giác nội tiếp (cyclic quadrilateral).

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Nếu cung bị chắn là nửa đường tròn (180°), thì:

m∠ABC=90°

Tức là: mọi góc nội tiếp chắn đường kính đều là góc vuông.Ví dụ: Nếu đoạn BC là đường kính của đường tròn, thì tam giác ABC luôn vuông tại A.

Xem thêm: Gợi ý 5 cuốn sách ôn thi SAT Math chất lượng tốt (2026)

Cách tính inscribed angle từ dữ liệu cho trước

Quy trình 5 bước

1. Nhận dạng góc cần tìm: Đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh là dây cung ⇒ đó là góc nội tiếp ∠ABC.

2. Xác định cung bị chắn: Góc ∠ABC chắn cung AC.

3. Chọn công thức đúng:

   • Biết cung bị chắn: (m(angle ABC)=frac12m(AC))

   • Biết góc ở tâm cùng cung: vì (m(∠AOC)=m(AC))

   [m(angle ABC)=frac12m(angle AOC)]

   • Biết góc nội tiếp khác cùng cung:[m(∠ABC)=m(∠ADC)]

   • Cung là nửa đường tròn (đường kính): [m(angle ABC)=frac12times180circ=90circ]

4. Thay số & tính: Cẩn thận đơn vị độ; nếu cần, tìm cung bằng tính tổng 360° rồi suy ra cung còn thiếu.

5. Kiểm tra nhanh: Vẽ/phác hoạ, tô cung bị chắn, đối chiếu loại góc (nội tiếp vs ở tâm) để tránh nhầm.

Bài tập mẫu

Problem. In a circle with center O, points A,B,C lie on the circle. The central angle ∠AOC=140∘. Find the measure of the inscribed angle ∠ABC that intercepts arc AC.

Lời giải Vì ∠AOC là góc ở tâm chắn cùng cung AC với góc nội tiếp ∠ABC, áp dụng công thức:

[m(angle ABC)=frac12m(angle AOC)=21times140circ=70circ.]

Kết luận: m(∠ABC)=70∘

Ứng dụng của Inscribed angle trong SAT Maths

Dạng 1 - Tìm góc nội tiếp khi biết góc ở tâm hoặc độ dài cung chắn

Nhận diện:

• Có đường tròn, tâm O.

• Góc ở tâm ∠AOB chắn cùng cung với góc nội tiếp ∠ACB.

• Đề cho ∠AOB hoặc độ dài cung AB.

Công thức:

[mangle ACB=frac12times m(arcAB)]

Ví dụ:

Trong đường tròn O, ∠AOB = 100°. Điểm C nằm trên đường tròn sao cho C nằm trên cung lớn AB.Hỏi số đo ∠ACB là bao nhiêu?

Giải nhanh:

• Cả hai góc chắn cùng cung AB.

• Áp dụng định lý góc nội tiếp:

  ∠ACB=1/2×100°=50°

Dạng 2 - Góc nội tiếp chắn đường kính (Thales Theorem)

Nhận diện:

• Một tam giác nội tiếp trong đường tròn.

• Một cạnh của tam giác chính là đường kính.

Kết luận:→ Góc đối diện đường kính luôn vuông (90°).

Ví dụ:

Trên đường tròn tâm O, AB là đường kính. Điểm C nằm trên đường tròn.Hỏi tam giác ABC có loại góc gì tại C?

Giải nhanh:

• AB là đường kính → cung chắn 180°.

• Góc nội tiếp chắn cung 180° = ½ × 180° = 90°.

• Tam giác ABC là tam giác vuông tại C.

  

Dạng 3 - Góc nội tiếp chắn cùng cung → các góc bằng nhau

Nhận diện:

• Hai hoặc nhiều góc có đỉnh trên đường tròn, chắn cùng một cung.

• Thường trong hình có tam giác hoặc tứ giác nội tiếp.

Kết luận:

∠Góc 1=∠Góc 2

Ví dụ:

Trên cùng một đường tròn, ∠ACB và ∠ADB cùng chắn cung AB.Nếu ∠ACB = 45°, hỏi ∠ADB = ?

Giải nhanh:Cả hai góc chắn cùng cung → bằng nhau.

∠ADB=45°

Dạng 4 - Tứ giác nội tiếp (Cyclic Quadrilateral) → góc đối bù nhau

Nhận diện:

• Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn (thường được nói là “inscribed quadrilateral”).

Kết luận:

∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°

Ví dụ:

ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.Nếu ∠A = 65°, thì ∠C = ?

Giải nhanh:

∠A+∠C=180°⇒∠C=115°

Xem thêm: SAT Math Sample Test - Đề thi thử có đáp án gợi ý

Chiến lược làm bài Inscribed Angle hiệu quả

Bước 1. Nhận dạng loại hình và vị trí của góc

Thí sinh quan sát hình vẽ để xác định:

• Đỉnh góc có nằm trên đường tròn hay không (điều kiện để là góc nội tiếp).

• Có đường kính, dây cung hoặc tứ giác nội tiếp hay không.

• Hai dây cung có cắt nhau trong đường tròn hay ngoài đường tròn không (xác định công thức tương ứng).

Bước 2. Xác định cung bị chắn hoặc góc ở tâm liên quan

• Tô hoặc khoanh rõ phần cung bị chắn (intercepted arc).

• Nếu biết góc ở tâm hoặc độ dài cung → liên hệ theo công thức góc nội tiếp - góc ở tâm.

• Nếu có đường kính → cung bị chắn là 180°, suy ra góc nội tiếp = 90°.

Bước 3. Áp dụng công thức thích hợp

Tùy tình huống:

• Góc nội tiếp - góc ở tâm: (m(angle inscribedangle)=frac12m(angle centralangle)) hoặc ngược lại.

• Đường kính: góc đối diện = 90°.

• Hai góc chắn cùng cung: hai góc bằng nhau.

• Tứ giác nội tiếp: hai góc đối nhau bù nhau (tổng bằng 180°).

• Hai dây cung cắt nhau bên trong đường tròn: (m(angle)=frac12(m(cung1)+m(cung2)))

Bước 4. Tính toán theo công thức

• Ghi lại kết quả trực tiếp trên hình vẽ.

• Kiểm tra xem các góc trong tam giác có tổng 180°, các số đo có hợp lý hay không.

• Với bài trắc nghiệm, nếu giá trị tìm được phù hợp với logic hình học, thí sinh nên chọn ngay để tiết kiệm thời gian.

Bước 5. Kiểm tra lại bài và quản lí thời gian

Phần hình học chiếm tỷ trọng nhỏ trong SAT Math, do đó thí sinh không nên mất quá nhiều thời gian cho các câu quá phức tạp. Nếu gặp câu đòi hỏi vẽ lại hình hoặc có nhiều dữ kiện, thí sinh nên đánh dấu và quay lại sau khi hoàn thành các câu dễ hơn. Khi luyện tập, nên làm quen với việc nhận dạng nhanh loại bài và công thức liên quan để rút ngắn thời gian xử lý.

Từ vựng liên quan tới Inscribed Angle

Từ vựng

Từ loại

Phiên âm

Nghĩa tiếng Việt

Ví dụ

circle

noun

/ˈsɜː.kəl/

đường tròn

A circle has 360 degrees. (Một đường tròn có 360 độ.)

radius

noun

/ˈreɪ.di.əs/

bán kính

The radius is half the diameter. (Bán kính bằng một nửa đường kính.)

diameter

noun

/daɪˈæm.ɪ.tər/

đường kính

AB is the diameter of the circle. (AB là đường kính của đường tròn.)

chord

noun

/kɔːd/

dây cung

A chord connects two points on a circle. (Dây cung nối hai điểm trên đường tròn.)

arc

noun

/ɑːk/

cung tròn

The arc measures 120 degrees. (Cung tròn có số đo 120 độ.)

central angle

noun

/ˈsen.trəl ˈæŋ.ɡəl/

góc ở tâm

The central angle intercepts the same arc as the inscribed angle. (Góc ở tâm chắn cùng cung với góc nội tiếp.)

inscribed angle

noun

/ɪnˈskraɪbd ˈæŋ.ɡəl/

góc nội tiếp

An inscribed angle is half the measure of its intercepted arc. (Góc nội tiếp bằng nửa cung mà nó chắn.)

intercepted arc

noun

/ˌɪn.təˈseptɪd ɑːk/

cung bị chắn

Find the measure of the intercepted arc. (Tìm số đo của cung bị chắn.)

tangent

noun

/ˈtæn.dʒənt/

tiếp tuyến

A tangent touches the circle at exactly one point. (Tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tại đúng một điểm.)

cyclic quadrilateral

noun

/ˈsaɪ.klɪk ˌkwɒd.rɪˈlæt.ər.əl/

tứ giác nội tiếp

Opposite angles in a cyclic quadrilateral sum to 180°. (Hai góc đối của tứ giác nội tiếp cộng lại bằng 180°.)

subtend

verb

/sʌbˈtend/

chắn (một cung/góc)

The chord subtends an angle at the center. (Dây cung chắn một góc ở tâm.)

congruent

adjective

/ˈkɒŋ.ɡru.ənt/

bằng nhau (về hình học)

The two inscribed angles are congruent. (Hai góc nội tiếp bằng nhau.)

supplementary

adjective

/ˌsʌp.lɪˈmen.tər.i/

bù nhau

Opposite angles are supplementary. (Hai góc đối bù nhau.)

intersect

verb

/ˌɪn.təˈsekt/

cắt nhau

Two chords intersect inside the circle. (Hai dây cung cắt nhau trong đường tròn.)

bisect

verb

/baɪˈsekt/

chia đôi, phân giác

The diameter bisects the circle. (Đường kính chia đôi đường tròn.)

right angle

noun

/ˌraɪt ˈæŋ.ɡəl/

góc vuông

A diameter subtends a right angle. (Đường kính chắn góc vuông.)

complementary

adjective

/ˌkɒm.plɪˈmen.tər.i/

phụ nhau (cộng = 90°)

The two angles are complementary. (Hai góc này phụ nhau.)

geometry

noun

/dʒiˈɒ.mə.tri/

hình học

Geometry questions often appear on the SAT Math test. (Các câu hỏi hình học thường xuất hiện trong SAT Math.)

diagram

noun

/ˈdaɪ.ə.ɡræm/

sơ đồ, hình minh họa

Always label the diagram carefully. (Luôn ghi nhãn cẩn thận trên hình.)

Bài tập thực hành Inscribed Angle

Question 1In circle O, chord AB intercepts minor arc AB. Point D lies on the circle such that ∠ADB is an inscribed angle that intercepts the same arc AB.If the measure of the central angle ∠AOB is 120°, what is the measure of ∠ADB?

Question 2In circle P, line MN is a diameter. Point Q lies on the circle (but Q is not M or N). Triangle MQN is drawn.What type of triangle is MQN?

Question 3In the same circle O, two inscribed angles ∠ACD and ∠ABD intercept the same arc AD.If m∠ACD = 35°, what is m∠ABD?

Question 4Quadrilateral ABCD is inscribed in circle R (i.e., all four vertices lie on the circle).If m∠A = 70°, what is m∠C?

Question 5Circle S is given. Two chords AB and CD intersect at point E inside the circle.The intercepted arcs are: arc AD = 80°, arc BC = 100°.What is the measure of ∠AEC?

Đáp án

Câu 1

Đáp án: 60°Giải thích:Góc ∠ADB là góc nội tiếp chắn cùng cung AB với góc ở tâm ∠AOB = 120°.Áp dụng định lý góc nội tiếp:

[m(angle ADB)=frac12times m(angle AOB)=frac12times120degree=60degree.]

Câu 2

Đáp án: Tam giác vuôngGiải thích:MN là đường kính → cung MN = 180°.Góc nội tiếp chắn cung 180° = ½ × 180° = 90° → ∠MQN = 90°.Vì có một góc vuông, tam giác MQN là tam giác vuông.

Câu 3

Đáp án: 35°Giải thích:Hai góc ∠ACD và ∠ABD đều là góc nội tiếp chắn cùng cung AD → bằng nhau.Do m∠ACD = 35° → m∠ABD = 35°.

Câu 4

Đáp án: 110°Giải thích:Trong tứ giác nội tiếp, hai góc đối nhau bù nhau (∑ = 180°).∠A + ∠C = 180° → ∠C = 180° − 70° = 110°.

Câu 5

Đáp án: 90°Giải thích:Hai dây cung cắt nhau bên trong đường tròn:

[m(angle)=21(m(arc1)+m(arc2))]

Với arc AD = 80° và arc BC = 100°:

m(∠AEC)=½(80°+100°)=90°

Bài viết liên quan:

• Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 8: Parabola and Vertex

• SAT Math 700+ | Kiến thức cần nắm và chiến lược làm bài