Xét tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số lượng giác

Bên cạnh việc tìm tập xác định và tập giá trị, xét tính chẵn - lẻ và tính tuần hoàn của hàm số lượng giác là dạng toán quan trọng giúp học sinh hiểu sâu bản chất của hàm số và rút gọn đáng kể quá trình giải bài. Nội dung này thường xuất hiện trong các bài toán khảo sát hàm số, biến đổi biểu thức và giải phương trình lượng giác ở Toán 11. Phần “Xét tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số lượng giác” sẽ hệ thống rõ ràng các tiêu chí nhận biết, cách lập luận chính xác cho từng loại hàm, kèm theo ví dụ minh họa chi tiết, giúp học sinh nắm chắc phương pháp, tránh nhầm lẫn và vận dụng linh hoạt trong các dạng toán liên quan.

Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y=-sin x$.

B. $y=cos x$.

C. $y=cos xsin x$.

D. $y=sin x$.

Lời giải

Xét hàm số $y=cos x$ có tập xác định $mathbb{R}$$Rightarrow forall xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}$

Đặt $fleft( x right)=cos x$. Khi đó $forall xin mathbb{R}$: $fleft( -x right)=cos left( -x right)=cos x=fleft( x right)$.

Do đó $y=cos x$ là hàm số chẵn.

Câu 2: Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?

A. $y=sin x$.

B. $y=cos x$.

C. $y=cot x$.

D. $y=tan x$.

Lời giải

Xét hàm số $y=cos x$.

Tập xác định $D=mathbb{R}Rightarrow forall xin DRightarrow -xin D$.

Ta có $cos left( -x right)=cos x,,,forall xin D$ nên hàm số $y=cos x$ là hàm chẵn.

Câu 3: Hàm số nào dưới đây là hàm số lẻ?

A. $y=tan x$.

B. $y=cos left( -x right)$.

C. $y={{sin }^{2}}x$.

D. $y={{cot }^{2}}x$.

Lời giải

Hàm số $y=tan x$ là hàm số lẻ theo tính chất hàm số lượng giác.

Các hàm số $y={{sin }^{2}}x$; $y={{cot }^{2}}x$; $y=cos left( -x right)$ là hàm số chẵn.

Câu 4: Tìm chu kì T của hàm số$y=sin left( x+frac{pi }{3} right)$

A. $T=pi $.

B. $T=4pi $.

C. $T=2pi $.

D. $T=6pi $

Lời giải

Tập xác định: $D=mathbb{R};,,x+2pi in D;,,x-2pi in D;forall xin D$

Ta có: $y=sin left( x+frac{pi }{3}+2pi right)=sin left( x+frac{pi }{3} right)$ do đó $T=2pi $

Câu 5: Hàm số $y=sin 2x$ có chu kì tuần hoàn là

A. $T=pi $.

B. $T=frac{pi }{2}$.

C. $T=4pi $.

D. $T=2pi $.

Lời giải

Chu kì tuần hoàn của hàm số $y=sin 2x$ là $T=frac{2pi }{|2|}=pi $.

Câu 6: Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số $y=cos x$ xác định với mọi số thực

b) Hàm số $y=tan x$ tuần hoàn với chu kì $pi $.

c) Hàm số $y=sin left( {{x}^{2}} right)$ là hàm số lẻ.

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=5sin x+2$ bằng $2$

Lời giải

a) Đúng: Hàm số $y=cos x$ xác định với mọi số thực

b) Hàm số $y=tan x$ tuần hoàn với chu kì $pi $

c) Xét hàm số $y=sin left( {{x}^{2}} right)$.

Tập xác định $mathbb{R}$ và $fleft( -x right)=sin {{left( -x right)}^{2}}=sin {{x}^{2}}=fleft( x right)$ nên đây là hàm số chẵn.

d) Ta có $-1le sin xle 1Rightarrow -3le 5sin x+2le 7$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-3$.

Câu 7: Tìm chu kì $T$ của hàm số $y=sin frac{x}{2}-tan left( 2x+frac{pi }{4} right).$

Lời giải

Hàm số $y=sin frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì ${{T}_{1}}=4pi .$

Hàm số $y=-tan left( 2x+frac{pi }{4} right)$ tuần hoàn với chu kì ${{T}_{2}}=frac{pi }{2}.$

Suy ra hàm số $y=sin frac{x}{2}-tan left( 2x+frac{pi }{4} right)$ tuần hoàn với chu kì $T=4pi approx 12,56$

Skip to PDF content

TẢI FILE PDF