Tìm hiểu về phương trình cotx = a và cách giải nhanh chóng

Phương trình lượng giác là một nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11. Bên cạnh các phương trình lượng giác cơ bản: sinx = a, cosx = a, tanx = a đã được đề cập đến ở các bài học trước thì bài viết sau đây sẽ đề cập đến phương trình lượng giác cơ bản còn lại. Đó là phương trình cotx = a. Vậy, công thức nghiệm của phương trình cotx = a là gì? Chúng ta có thể vận dụng công thức nghiệm để giải quyết các bài tập liên quan ra sao? Để hiểu rõ hơn về những vấn đề này, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Công thức nghiệm của phương trình cotx = a

• Phương trình cotx = a xác định khi sinx 0
• Nếu là một nghiệm của trình cotx = a, nghĩa là cot = a thì:

cotx = a x = + k , k Z (đối với số đo góc tính bằng đơn vị rađian)

cotx = a x = + k1800, k Z (đối với số đo góc tính bằng độ)

2. Giải phương trình cotx = a

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1. cot( + ) = 1
2. cot(x + 500) =

Giải

a. Vì cot = 1 nên ta có:

cot( + ) = 1

cot ( + ) = cot

+ = + k

= k

x = k2 , k Z

b. Vì = cot600 nên ta có:

cot(x + 500) =

cot(x + 500) = cot600

x + 500 = 600 + k1800

x = 600 - 500 + k1800

x = 100 + k1800, k Z

3. Tìm nghiệm của phương trình cotx = a trên khoảng đã cho

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình cot(150 - 2x) = -1 biết 00 < x < 600

Giải

Vì -1 = cot( -450) nên ta có:

cot(150 - 2x) = -1

cot(150 - 2x) = cot(-450)

150 - 2x = -450 + k1800

-2x = -450 - 150 + k1800

-2x = -600 + k1800

x = 300 - k900, k Z

Theo đề bài, 00 < x < 600 nên ta có:

00 < 300 - k900 < 600

-300 < -k900 < 300

0,33 > k > -0,33

-0,33 < k < 0,33

Vì k Z nên suy ra k = 0

Khi đó, x = 300

4. Bài tập áp dụng phương trình cotx = a

Bài 1: Phương trình cot(2x + ) = tanx có nghiệm là:

1. + k3 , k Z
2. + k , k Z
3. + k3 , k Z
4. + k , k Z

Hướng dẫn:

Hai góc phụ nhau có tan góc này bằng cot góc kia nên ta có:

tanx = cot( - x)

Do đó, cot(2x + ) = tanx

cot(2x + ) = cot( - x)

2x + = - x + k

2x + x = - + k

3x = + k

x = + k , k Z

Chọn câu D

Bài 2: Số nghiệm của phương trình cotx - 1 = 0 khi < x < 0 là:

1. Một nghiệm
2. Hai nghiệm
3. Vô nghiệm
4. Vô số nghiệm

Hướng dẫn:

Ta có: cotx - 1 = 0

cotx = 1

cotx = cot

x = + k , k Z

Mà ta có: < x < 0

Nên: < + k < 0

< k <

< k <

-0,75 < k < -0,25

Vì k Z nên không có giá trị k nào thỏa mãn

Chọn câu C

Bài 3: Biết cot = 5, khi đó phương trình cot( - 200) = 5 có nghiệm là:

1. x = 7 + 1400 + k12600, k Z
2. x = 7 - 1400 + k12600, k Z
3. x = 7 + 1200 + k12600, k Z
4. x = 7 - 1200 + k12600, k Z

Hướng dẫn:

Vì là góc mà cot = 5 nên ta có:

cot( - 200) = cot

- 200 = + k1800

= + 200 + k1800

x = 7 + 1400 + k12600, k Z

Chọn câu A

Bài 4: Cho các phương trình: cot(300 - x) = 1 (1); cot(300 - x) = -1 (2)

và các phát biểu sau đây:

(1) Khi -900 < x < 900, phương trình (1) có nghiệm x = -150 và phương trình (2) có nghiệm x = 700

(2) Khi -900 < x < 900, phương trình (2) có nghiệm x = 750 và phương trình (1) có nghiệm x = -150

(3) Phương trình (1) có hai nghiệm khi -900 < x < 900

(4) Phương trình (2) có hai nghiệm khi -900 < x < 900

Trong các phát biểu nêu trên, phát biểu sai là:

1. (2), (3), (4)
2. (1), (2), (4)
3. (1), (3), (4)
4. (1), (2), (3)

Hướng dẫn:

+ Vì 1 = cot450 nên ta có:

cot(300 - x) = 1

cot(300 - x) = cot450

300 - x = 450 + k1800

-x = 450 - 300 + k1800

-x = 150 + k1800

x = -150 - k1800, k Z

Vì -900 < x < 900 nên ta có:

-900 < -150 - k1800 < 900

-900 + 150 < -k1800 < 900 + 150

-750 < -k1800 < 1050

0,42 > k > -0,58

Hay -0,58 < k < 0,42

Mà k Z suy ra k = 0

Khi đó, phương trình (1) có nghiệm x = -150

Vậy, (3) sai (*)

+ Vì -1 = cot(-450) nên ta có:

cot(300 - x) = -1

cot(300 - x) = cot(-450)

300 - x = -450 + k1800

-x = -450 - 300 + k1800

-x = -750 + k1800

x = 750 - k1800, k Z

Vì -900 < x < 900 nên ta có:

-900 < 750 - k1800 < 900

-900 - 750 < -k1800 < 900 - 750

-1650 < -k1800 < 150

0,92 > k > -0,08

Hay -0,08 < k < 0,92

Mà k Z suy ra k = 0

Khi đó, phương trình (2) có nghiệm x = 750

Vậy, (1), (4) sai (**)

Từ (*) và (**) ta có: (1), (3), (4) sai

Chọn câu C

Bài 5: Nghiệm của phương trình: cot(x + ) = là:

1. x = + k , k Z
2. x = + k , k Z
3. x = + k2 , k Z
4. x = + k2 , k Z

Hướng dẫn:

Vì = cot nên ta có:

cot(x + ) =

cot(x + ) = cot

x + = + k

x = + k , k Z

Chọn câu B

Trên đây là phần tóm tắt công thức nghiệm của phương trình cotx = a và một số bài tập liên quan. Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình cotx = a, vận dụng vào giải quyết nhiều bài tập liên quan hơn nữa. Đồng thời ôn tập, củng cố kiến thức để chuẩn bị thật tốt cho các kì thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang