Đạo hàm cấp cao: Công thức đạo hàm cấp n và cách tính chi tiết

Đạo hàm cấp cao là khái niệm mở rộng của đạo hàm, được sử dụng rộng rãi trong giải tích, vật lý và kỹ thuật. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững công thức đạo hàm cấp n, cách tính đạo hàm cấp n cùng các công thức đạo hàm cấp cao quan trọng và ví dụ minh họa chi tiết nhất.

Đạo hàm cấp cao là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức đạo hàm cấp n, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm cơ bản:

Định nghĩa: Đạo hàm cấp cao (hay đạo hàm cao cấp) là đạo hàm của đạo hàm. Nếu hàm số ( y = f(x) ) có đạo hàm ( f'(x) ), và ( f'(x) ) cũng có đạo hàm, thì đạo hàm của ( f'(x) ) được gọi là đạo hàm cấp hai của ( f(x) ).

Ký hiệu đạo hàm các cấp:

CấpKý hiệu LagrangeKý hiệu LeibnizÝ nghĩaĐạo hàm cấp 1( f'(x) ) hoặc ( y’ )( frac{dy}{dx} ) hoặc ( frac{df}{dx} )Vận tốc, độ dốcĐạo hàm cấp 2( f”(x) ) hoặc ( y” )( frac{d^2y}{dx^2} )Gia tốc, độ lõmĐạo hàm cấp 3( f”'(x) ) hoặc ( y”’ )( frac{d^3y}{dx^3} )Jerk (đạo hàm gia tốc)Đạo hàm cấp n( f^{(n)}(x) ) hoặc ( y^{(n)} )( frac{d^ny}{dx^n} )Đạo hàm lặp n lần

Định nghĩa đệ quy:

• ( f^{(0)}(x) = f(x) ) (quy ước)
• ( f^{(1)}(x) = f'(x) ) (đạo hàm cấp 1)
• ( f^{(2)}(x) = [f'(x)]’ = f”(x) )
• ( f^{(n)}(x) = [f^{(n-1)}(x)]’ ) với ( n geq 1 )

Ví dụ minh họa:

Cho ( f(x) = x^4 ), tính các đạo hàm cấp cao:

• ( f'(x) = 4x^3 ) (đạo hàm cấp 1)
• ( f”(x) = 12x^2 ) (đạo hàm cấp 2)
• ( f”'(x) = 24x ) (đạo hàm cấp 3)
• ( f^{(4)}(x) = 24 ) (đạo hàm cấp 4)
• ( f^{(5)}(x) = 0 ) (đạo hàm cấp 5 và cao hơn đều bằng 0)

Vậy các công thức đạo hàm cấp cao cơ bản là gì? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết ngay sau đây.

Công thức đạo hàm cấp n cơ bản

Dưới đây là công thức đạo hàm cấp n của các hàm số cơ bản:

1. Đạo hàm cấp n của hàm lũy thừa

Công thức:

[ (x^m)^{(n)} = m(m-1)(m-2)…(m-n+1) cdot x^{m-n} ]

Hay viết gọn:

[ (x^m)^{(n)} = frac{m!}{(m-n)!} cdot x^{m-n} quad text{với } m geq n ]

Trường hợp đặc biệt:

• Nếu ( m = n ): ( (x^n)^{(n)} = n! )
• Nếu ( m < n ): ( (x^m)^{(n)} = 0 )

Ví dụ:

• ( (x^5)^{(3)} = 5 cdot 4 cdot 3 cdot x^2 = 60x^2 )
• ( (x^4)^{(4)} = 4! = 24 )
• ( (x^3)^{(5)} = 0 )

2. Đạo hàm cấp n của hàm mũ

Công thức:

[ (e^x)^{(n)} = e^x ]

[ (e^{ax})^{(n)} = a^n cdot e^{ax} ]

[ (a^x)^{(n)} = a^x cdot (ln a)^n quad (a > 0, a neq 1) ]

Ví dụ:

• ( (e^x)^{(100)} = e^x )
• ( (e^{2x})^{(5)} = 2^5 cdot e^{2x} = 32e^{2x} )
• ( (3^x)^{(n)} = 3^x cdot (ln 3)^n )

3. Đạo hàm cấp n của hàm lượng giác

Công thức:

[ (sin x)^{(n)} = sinleft(x + frac{npi}{2}right) ]

[ (cos x)^{(n)} = cosleft(x + frac{npi}{2}right) ]

Dạng tổng quát:

[ (sin ax)^{(n)} = a^n sinleft(ax + frac{npi}{2}right) ]

[ (cos ax)^{(n)} = a^n cosleft(ax + frac{npi}{2}right) ]

Bảng giá trị theo chu kỳ:

( n mod 4 )( (sin x)^{(n)} )( (cos x)^{(n)} )0( sin x )( cos x )1( cos x )( -sin x )2( -sin x )( -cos x )3( -cos x )( sin x )

4. Đạo hàm cấp n của hàm logarit

Công thức:

[ (ln x)^{(n)} = frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} quad (x > 0) ]

Ví dụ:

• ( (ln x)’ = frac{1}{x} )
• ( (ln x)” = -frac{1}{x^2} )
• ( (ln x)”’ = frac{2}{x^3} )
• ( (ln x)^{(4)} = -frac{6}{x^4} = -frac{3!}{x^4} )

5. Đạo hàm cấp n của hàm phân thức đơn giản

Công thức:

[ left(frac{1}{x}right)^{(n)} = frac{(-1)^n cdot n!}{x^{n+1}} ]

[ left(frac{1}{ax+b}right)^{(n)} = frac{(-1)^n cdot n! cdot a^n}{(ax+b)^{n+1}} ]

Tiếp theo, hãy xem thêm các công thức đạo hàm cấp cao quan trọng khác.

Các công thức đạo hàm cấp cao quan trọng

Ngoài các công thức cơ bản, đạo hàm cao cấp còn có các công thức quan trọng sau:

1. Công thức Leibniz (đạo hàm của tích)

Công thức:

[ (uv)^{(n)} = sum_{k=0}^{n} C_n^k cdot u^{(n-k)} cdot v^{(k)} ]

Hay viết đầy đủ:

[ (uv)^{(n)} = u^{(n)}v + C_n^1 u^{(n-1)}v’ + C_n^2 u^{(n-2)}v” + … + uv^{(n)} ]

Trong đó ( C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!} ) là hệ số tổ hợp.

Trường hợp đặc biệt:

• ( n = 1 ): ( (uv)’ = u’v + uv’ )
• ( n = 2 ): ( (uv)” = u”v + 2u’v’ + uv” )
• ( n = 3 ): ( (uv)”’ = u”’v + 3u”v’ + 3u’v” + uv”’ )

Nhận xét: Công thức Leibniz tương tự khai triển nhị thức Newton ( (a+b)^n ).

2. Đạo hàm cấp n của hàm hợp

Với ( y = f(ax + b) ):

[ y^{(n)} = a^n cdot f^{(n)}(ax + b) ]

Ví dụ:

• ( [sin(2x+1)]^{(n)} = 2^n sinleft(2x + 1 + frac{npi}{2}right) )
• ( [e^{3x-2}]^{(n)} = 3^n e^{3x-2} )

3. Bảng tổng hợp công thức đạo hàm cấp n

Hàm số ( f(x) )Đạo hàm cấp n ( f^{(n)}(x) )( x^m ) (m ≥ n)( frac{m!}{(m-n)!} x^{m-n} )( e^x )( e^x )( e^{ax} )( a^n e^{ax} )( a^x )( a^x (ln a)^n )( sin x )( sinleft(x + frac{npi}{2}right) )( cos x )( cosleft(x + frac{npi}{2}right) )( sin(ax+b) )( a^n sinleft(ax + b + frac{npi}{2}right) )( cos(ax+b) )( a^n cosleft(ax + b + frac{npi}{2}right) )( ln x )( frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} )( frac{1}{x} )( frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} )( frac{1}{ax+b} )( frac{(-1)^n n! a^n}{(ax+b)^{n+1}} )( ln(ax+b) )( frac{(-1)^{n-1}(n-1)! a^n}{(ax+b)^n} )

Hãy cùng xem cách tính đạo hàm cấp n theo các phương pháp khác nhau.

Cách tính đạo hàm cấp n

Cách tính đạo hàm cấp n có thể thực hiện theo nhiều phương pháp:

Phương pháp 1: Tính trực tiếp và tìm quy luật

Các bước:

1. Tính lần lượt ( f'(x), f”(x), f”'(x), … )
2. Quan sát và tìm quy luật
3. Dự đoán công thức tổng quát ( f^{(n)}(x) )
4. Chứng minh bằng quy nạp (nếu cần)

Ví dụ: Tính ( (ln x)^{(n)} )

• ( y’ = frac{1}{x} = x^{-1} )
• ( y” = -x^{-2} = -frac{1}{x^2} )
• ( y”’ = 2x^{-3} = frac{2}{x^3} )
• ( y^{(4)} = -6x^{-4} = -frac{6}{x^4} )

Quy luật: ( (ln x)^{(n)} = frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} )

Phương pháp 2: Áp dụng công thức trực tiếp

Sử dụng bảng công thức đã có cho các hàm cơ bản.

Ví dụ: Tính ( (e^{3x})^{(10)} )

Áp dụng: ( (e^{ax})^{(n)} = a^n e^{ax} )

[ (e^{3x})^{(10)} = 3^{10} cdot e^{3x} = 59049 cdot e^{3x} ]

Phương pháp 3: Sử dụng công thức Leibniz

Khi nào dùng: Khi hàm số là tích của hai hàm, đặc biệt khi một hàm có đạo hàm cấp cao “triệt tiêu” (bằng 0 từ một cấp nào đó).

Ví dụ: Tính ( (x^2 cdot e^x)^{(n)} )

Đặt ( u = x^2 ), ( v = e^x )

Ta có: ( u’ = 2x ), ( u” = 2 ), ( u^{(k)} = 0 ) với ( k geq 3 )

Và: ( v^{(k)} = e^x ) với mọi ( k )

Áp dụng Leibniz (chỉ còn 3 số hạng khác 0):

[ (x^2 e^x)^{(n)} = x^2 e^x + C_n^1 cdot 2x cdot e^x + C_n^2 cdot 2 cdot e^x ]

[ = e^x left( x^2 + 2nx + n(n-1) right) ]

Phương pháp 4: Phân tích thành tổng

Khi nào dùng: Khi hàm số có thể phân tích thành tổng các hàm đơn giản hơn.

Ví dụ: Tính ( left( frac{x}{x^2-1} right)^{(n)} )

Phân tích: ( frac{x}{x^2-1} = frac{x}{(x-1)(x+1)} = frac{1}{2} left( frac{1}{x-1} + frac{1}{x+1} right) )

Áp dụng công thức:

[ left( frac{1}{x-1} right)^{(n)} = frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}} ]

[ left( frac{1}{x+1} right)^{(n)} = frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}} ]

Kết quả:

[ left( frac{x}{x^2-1} right)^{(n)} = frac{(-1)^n n!}{2} left[ frac{1}{(x-1)^{n+1}} + frac{1}{(x+1)^{n+1}} right] ]

Hãy cùng xem các ví dụ chi tiết về tính đạo hàm cấp n.

Ví dụ tính đạo hàm cấp n chi tiết

Dưới đây là các ví dụ minh họa đạo hàm cấp cao từ cơ bản đến nâng cao:

Ví dụ 1: Hàm lũy thừa

Đề bài: Tính ( (x^7)^{(5)} )

Lời giải:

Áp dụng công thức: ( (x^m)^{(n)} = frac{m!}{(m-n)!} x^{m-n} )

[ (x^7)^{(5)} = frac{7!}{(7-5)!} x^{7-5} = frac{7!}{2!} x^2 = frac{5040}{2} x^2 = 2520x^2 ]

Cách khác: ( 7 cdot 6 cdot 5 cdot 4 cdot 3 cdot x^2 = 2520x^2 )

Ví dụ 2: Hàm lượng giác

Đề bài: Tính ( (sin 2x)^{(100)} )

Lời giải:

Áp dụng công thức: ( (sin ax)^{(n)} = a^n sinleft(ax + frac{npi}{2}right) )

[ (sin 2x)^{(100)} = 2^{100} sinleft(2x + frac{100pi}{2}right) = 2^{100} sin(2x + 50pi) ]

Vì ( sin(2x + 50pi) = sin 2x ) (chu kỳ ( 2pi ), và ( 50pi = 25 cdot 2pi ))

[ (sin 2x)^{(100)} = 2^{100} sin 2x ]

Ví dụ 3: Hàm mũ nhân đa thức

Đề bài: Tính ( (x^3 e^x)^{(n)} )

Lời giải:

Đặt ( u = x^3 ), ( v = e^x )

Ta có: ( u’ = 3x^2 ), ( u” = 6x ), ( u”’ = 6 ), ( u^{(k)} = 0 ) với ( k geq 4 )

Áp dụng công thức Leibniz:

[ (x^3 e^x)^{(n)} = sum_{k=0}^{3} C_n^k cdot (x^3)^{(k)} cdot e^x ]

[ = C_n^0 x^3 e^x + C_n^1 cdot 3x^2 cdot e^x + C_n^2 cdot 6x cdot e^x + C_n^3 cdot 6 cdot e^x ]

[ = e^x left[ x^3 + 3nx^2 + frac{n(n-1)}{2} cdot 6x + frac{n(n-1)(n-2)}{6} cdot 6 right] ]

[ = e^x left[ x^3 + 3nx^2 + 3n(n-1)x + n(n-1)(n-2) right] ]

Ví dụ 4: Hàm phân thức

Đề bài: Tính ( left( frac{1}{2x+1} right)^{(n)} )

Lời giải:

Áp dụng công thức: ( left( frac{1}{ax+b} right)^{(n)} = frac{(-1)^n n! a^n}{(ax+b)^{n+1}} )

Với ( a = 2 ), ( b = 1 ):

[ left( frac{1}{2x+1} right)^{(n)} = frac{(-1)^n n! cdot 2^n}{(2x+1)^{n+1}} ]

Ví dụ 5: Chứng minh bằng quy nạp

Đề bài: Chứng minh ( (e^x sin x)^{(n)} = (sqrt{2})^n e^x sinleft(x + frac{npi}{4}right) )

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra với ( n = 1 ):

VT: ( (e^x sin x)’ = e^x sin x + e^x cos x = e^x(sin x + cos x) )

VP: ( sqrt{2} e^x sinleft(x + frac{pi}{4}right) = sqrt{2} e^x cdot frac{sqrt{2}}{2}(sin x + cos x) = e^x(sin x + cos x) )

VT = VP ✓

Bước 2: Giả sử đúng với ( n = k ), chứng minh đúng với ( n = k + 1 ):

Giả thiết quy nạp: ( (e^x sin x)^{(k)} = (sqrt{2})^k e^x sinleft(x + frac{kpi}{4}right) )

Đạo hàm hai vế:

[ (e^x sin x)^{(k+1)} = (sqrt{2})^k left[ e^x sinleft(x + frac{kpi}{4}right) + e^x cosleft(x + frac{kpi}{4}right) right] ]

[ = (sqrt{2})^k e^x cdot sqrt{2} sinleft(x + frac{kpi}{4} + frac{pi}{4}right) ]

[ = (sqrt{2})^{k+1} e^x sinleft(x + frac{(k+1)pi}{4}right) ]

Vậy công thức đúng với mọi ( n in mathbb{N}^* ). (đpcm)

Ví dụ 6: Tính đạo hàm tại một điểm

Đề bài: Tính ( f^{(10)}(0) ) biết ( f(x) = x^2 cos x )

Lời giải:

Áp dụng công thức Leibniz với ( u = x^2 ), ( v = cos x ):

[ (x^2 cos x)^{(10)} = sum_{k=0}^{2} C_{10}^k (x^2)^{(k)} (cos x)^{(10-k)} ]

[ = x^2 (cos x)^{(10)} + C_{10}^1 cdot 2x cdot (cos x)^{(9)} + C_{10}^2 cdot 2 cdot (cos x)^{(8)} ]

Tại ( x = 0 ):

• ( (cos x)^{(10)} = cosleft(x + frac{10pi}{2}right) = cos(x + 5pi) = -cos x ). Tại ( x = 0 ): ( -1 )
• ( (cos x)^{(8)} = cosleft(x + 4piright) = cos x ). Tại ( x = 0 ): ( 1 )

[ f^{(10)}(0) = 0 cdot (-1) + 10 cdot 0 cdot … + 45 cdot 2 cdot 1 = 90 ]

Hãy cùng luyện tập với các bài tập về đạo hàm cấp cao dưới đây.

Bài tập đạo hàm cấp cao (có lời giải)

Dưới đây là các bài tập về đạo hàm cấp n từ cơ bản đến nâng cao:

Dạng 1: Tính đạo hàm cấp n cơ bản

Bài tập 1: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a) ( y = x^6 )

b) ( y = e^{-2x} )

c) ( y = cos 3x )

d) ( y = ln(1 + x) )

Lời giải:

a) ( (x^6)^{(n)} = begin{cases} frac{6!}{(6-n)!} x^{6-n} & text{nếu } n leq 6 0 & text{nếu } n > 6 end{cases} )

b) ( (e^{-2x})^{(n)} = (-2)^n e^{-2x} )

c) ( (cos 3x)^{(n)} = 3^n cosleft(3x + frac{npi}{2}right) )

d) ( [ln(1+x)]^{(n)} = frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n} )

Dạng 2: Tính đạo hàm cấp cụ thể

Bài tập 2: Tính:

a) ( (sin x)^{(50)} )

b) ( (x^5)^{(5)} )

c) ( (e^{2x})^{(7)} )

Lời giải:

a) ( (sin x)^{(50)} = sinleft(x + frac{50pi}{2}right) = sin(x + 25pi) = sin(x + pi) = -sin x )

b) ( (x^5)^{(5)} = 5! = 120 )

c) ( (e^{2x})^{(7)} = 2^7 e^{2x} = 128 e^{2x} )

Dạng 3: Áp dụng công thức Leibniz

Bài tập 3: Tính ( (x cdot e^x)^{(n)} )

Lời giải:

Đặt ( u = x ), ( v = e^x )

Ta có: ( u’ = 1 ), ( u^{(k)} = 0 ) với ( k geq 2 )

Áp dụng Leibniz:

[ (x cdot e^x)^{(n)} = C_n^0 cdot x cdot e^x + C_n^1 cdot 1 cdot e^x ]

[ = xe^x + ne^x = e^x(x + n) ]

Bài tập 4: Tính ( (x^2 sin x)^{(n)} )

Lời giải:

Đặt ( u = x^2 ), ( v = sin x )

Ta có: ( u’ = 2x ), ( u” = 2 ), ( u^{(k)} = 0 ) với ( k geq 3 )

Áp dụng Leibniz:

[ (x^2 sin x)^{(n)} = x^2 (sin x)^{(n)} + C_n^1 cdot 2x cdot (sin x)^{(n-1)} + C_n^2 cdot 2 cdot (sin x)^{(n-2)} ]

[ = x^2 sinleft(x + frac{npi}{2}right) + 2nx sinleft(x + frac{(n-1)pi}{2}right) + n(n-1) sinleft(x + frac{(n-2)pi}{2}right) ]

Dạng 4: Phân tích phân thức

Bài tập 5: Tính ( left( frac{1}{x^2 - 1} right)^{(n)} )

Lời giải:

Phân tích: ( frac{1}{x^2-1} = frac{1}{(x-1)(x+1)} = frac{1}{2}left( frac{1}{x-1} - frac{1}{x+1} right) )

Áp dụng công thức:

[ left( frac{1}{x^2-1} right)^{(n)} = frac{1}{2} left[ frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}} - frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}} right] ]

[ = frac{(-1)^n n!}{2} left[ frac{1}{(x-1)^{n+1}} - frac{1}{(x+1)^{n+1}} right] ]

Dạng 5: Tính đạo hàm tại một điểm

Bài tập 6: Tính ( f^{(n)}(0) ) biết ( f(x) = e^x cos x )

Lời giải:

Ta có công thức: ( (e^x cos x)^{(n)} = (sqrt{2})^n e^x cosleft(x + frac{npi}{4}right) )

Tại ( x = 0 ):

[ f^{(n)}(0) = (sqrt{2})^n cdot e^0 cdot cosleft(frac{npi}{4}right) = (sqrt{2})^n cosleft(frac{npi}{4}right) ]

Bảng giá trị:

n012345678( f^{(n)}(0) )110-2-4-40816

Dạng 6: Bài toán nâng cao

Bài tập 7: Cho ( y = frac{2x + 1}{x^2 - 3x + 2} ). Tính ( y^{(n)} ).

Lời giải:

Phân tích: ( frac{2x+1}{x^2-3x+2} = frac{2x+1}{(x-1)(x-2)} = frac{A}{x-1} + frac{B}{x-2} )

Tìm A, B:

• Với ( x = 1 ): ( 2(1) + 1 = A(1-2) Rightarrow A = -3 )
• Với ( x = 2 ): ( 2(2) + 1 = B(2-1) Rightarrow B = 5 )

Vậy: ( y = frac{-3}{x-1} + frac{5}{x-2} )

Đạo hàm cấp n:

[ y^{(n)} = -3 cdot frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}} + 5 cdot frac{(-1)^n n!}{(x-2)^{n+1}} ]

[ = (-1)^n n! left[ frac{5}{(x-2)^{n+1}} - frac{3}{(x-1)^{n+1}} right] ]

Bài tập 8: Chứng minh ( (x^n e^x)^{(n)} = e^x sum_{k=0}^{n} C_n^k frac{n!}{k!} x^k )

Lời giải:

Áp dụng công thức Leibniz với ( u = x^n ), ( v = e^x ):

[ (x^n e^x)^{(n)} = sum_{k=0}^{n} C_n^k (x^n)^{(n-k)} (e^x)^{(k)} ]

[ = sum_{k=0}^{n} C_n^k cdot frac{n!}{k!} x^k cdot e^x ]

[ = e^x sum_{k=0}^{n} C_n^k frac{n!}{k!} x^k ] (đpcm)

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức về đạo hàm cấp cao, bao gồm định nghĩa, công thức đạo hàm cấp n của các hàm cơ bản và cách tính đạo hàm cấp n. Hãy ghi nhớ các công thức đạo hàm cấp cao quan trọng: đạo hàm cấp n của ( e^{ax} ) là ( a^n e^{ax} ), của ( sin x ) là ( sin(x + frac{npi}{2}) ), và đặc biệt là công thức Leibniz cho tích hai hàm số. Khi tính đạo hàm cấp n, cần linh hoạt sử dụng các phương pháp: tìm quy luật, áp dụng công thức trực tiếp, công thức Leibniz hoặc phân tích thành tổng. Đạo hàm cao cấp là công cụ quan trọng trong khai triển Taylor, nghiên cứu hàm số và giải các phương trình vi phân.