Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng phương pháp toạ độ - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song với nhau:

(P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0.

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên, ta thực hiện:

Bước 1: Tìm một điểm (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)) thuộc (P), bằng cách:

- Chọn giá trị ({x_0}), ({y_0}) bất kì (nên chọn các giá trị dễ tính toán như 0; 1;..).

- Thay ({x_0}), ({y_0}) vào phương trình của (P), giải phương trình tìm ({z_0}).

- Kết luận điểm (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)).

Bước 2: Tính khoảng cách từ (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)) đến (Q) theo công thức:

(dleft( {M,(P)} right) = frac{{left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}).

* Lưu ý: Ở B1, có thể chọn giá trị ({x_0}), ({z_0}) để tìm ({y_0}); hoặc chọn ({y_0}), ({z_0}) rồi tìm ({x_0}).

Ví dụ minh hoạ:

1) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x - y - 2z - 9 = 0 và (Q): 4x - 2y - 4z - 6 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Giải:

Vì (frac{2}{4} = frac{{ - 1}}{{ - 2}} = frac{{ - 2}}{{ - 4}} ne frac{{ - 9}}{{ - 6}}) nên (P) // (Q).

Xét phương trình của (P): 2x - y - 2z - 9 = 0 , cho x = z = 0, ta tính được y = -9.

Vậy M(0; -9; 0) là một điểm thuộc (P).

Ta có (dleft( {(P),(Q)} right) = dleft( {M,(Q)} right) = frac{{left| { - 2.( - 9) - 6} right|}}{{sqrt {{4^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 2).

2) Trong không gian (Oxyz), cho hai mặt phẳng ((P): 3x - y + 2z - 5 = 0) và ((Q): 6x - 2y + 4z - 3 = 0). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Giải:

Vì (frac{3}{6} = frac{-1}{-2} = frac{2}{4} ne frac{-5}{-3}) nên (P) // (Q).

Xét phương trình của ((P): 3x - y + 2z - 5 = 0), cho (y = 0, z = 0), ta có (3x - 5 = 0 Rightarrow x = frac{5}{3}).

Vậy (Mleft(frac{5}{3}; 0; 0right)) là một điểm thuộc (P).

Ta có: (dleft((P),(Q)right) = dleft(M,(Q)right) = frac{|6cdotfrac{5}{3} - 3|}{sqrt{6^2 + (-2)^2 + 4^2}} = frac{7}{2sqrt{14}}).

3) Trong không gian (Oxyz), cho hai mặt phẳng ((P): x + 2y - 2z + 7 = 0) và ((Q): 2x + 4y - 4z + 9 = 0). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Giải:

Vì (frac{1}{2} = frac{2}{4} = frac{-2}{-4} ne frac{7}{9}) nên (P) /// (Q).

Xét phương trình của ((P): x + 2y - 2z + 7 = 0), cho (y = 0, z = 0), ta có (x + 7 = 0 Rightarrow x = -7).

Vậy M(-7; 0; 0) là một điểm thuộc (P).

Ta có: (dleft((P),(Q)right) = dleft(M,(Q)right) = frac{|2cdot(-7) + 9|}{sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2}} = frac{5}{6}).