Cát tuyến là gì? Cát tuyến của đường tròn là gì?

Trong chương trình Toán lớp 9, cát tuyến là một khái niệm quan trọng, thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến đường tròn, tiếp tuyến và hình học phẳng. Vậy cát tuyến là gì? Cát tuyến của đường tròn có đặc điểm gì? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa cát tuyến, cách xác định cát tuyến của đường tròn, và cách vận dụng vào các bài tập Toán lớp 9. Tài liệu được trình bày dễ hiểu, kèm ví dụ minh họa và lời giải chi tiết giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả vào thực hành. Dưới đây là nội dung chi tiết, các em tham khảo nhé.

1. Định nghĩa về cát tuyến

Cát tuyến là gì?

Cát tuyến là một từ Hán - Việt. Trong đó “Cát” nghĩa là cắt, còn “tuyến” có nghĩa là đường thẳng. Bởi vậy, cát tuyến chính là một đường thẳng cắt các đường khác (đường thẳng, đường tròn, đường cong,…)

+ Theo khái niệm trong sách giáo khoa bộ môn toán, thì cát tuyến chính là một đường thẳng cắt một đường thẳng khác. Cát tuyến của đường tròn chính là 1 đường thẳng cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt. Cát tuyến của 2 đường thẳng là 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng trên. Một vài trường hợp đặc biệt đó chính là cát tuyến đi qua tâm đường tròn.

Ứng dụng đường cát tuyến hình tròn

Đường cát tuyến hình tròn có thể được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ, tam giác đồng dạng, đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Một số ví dụ về ứng dụng đường cát tuyến hình tròn là:

- Tính chiều cao của một ngọn núi khi biết góc nhìn từ hai điểm cách nhau một khoảng xác định.

- Tính bán kính của một đường tròn khi biết hai cát tuyến của nó và khoảng cách giữa hai điểm giao của chúng với đường tròn.

- Tính diện tích của một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn khi biết các cạnh của nó và các góc tạo bởi các cát tuyến của chúng.

- Tính chiều dài của một cung tròn khi biết hai tiếp tuyến và một cát tuyến của nó

2. Tính chất của cát tuyến là gì toán 9?

Cho 1 đường tròn tâm O với 2 đường thẳng là AB và CD, ta có:

3. Bài tập về cát tuyến đường tròn

Xem thêm phần Các bài toán về tiếp tuyến và cát tuyến (Có đáp án)

Lời giải:

Cát tuyến là gì? Cát tuyến của đường tròn là gì?

a) +) Có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết)

→ Góc MAC = góc MDA → △ MAC ~ △ MDA (g.g)

→ frac{{MA}}{{MD}} = frac{{MC}}{{MA}} (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

→ MA2 = MC.MD (đpcm)

b) +) Có I là trung điểm của CD (giả thiết)

→ Góc MIO = 900 = góc MAO = MBO

→ 4 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

c) +) Có MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H → MH. MO = MA2 = MC. MD

→ frac{{MA}}{{MD}} = frac{{MC}}{{MA}} → △ MHC ~ △ MDC → góc MHC = góc MDO

→ Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn

→ Góc OHD = góc OCD = góc ODC = góc MHC

→ 900 - góc MHC = 900 - góc OHD → góc CHB = góc BHD

→ HB là phân giác của góc CHD.

d) +) Có KC và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)

→ Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn (hay 4 điểm K, C, O, D cùng thuộc một đường tròn)

mà tứ giác HODC nội tiếp đường tròn (chứng minh trên) (hay 4 điểm H, O, D, C cùng thuộc một đường tròn)

→ 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn

→ HK là phân giác của góc CHD (do KC = KD)

→ 3 điểm A, B, K thẳng hàng.

Bài giải

Gọi 3 điểm A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến a, b, c.

Xét hai góc trong cùng phía CEA và CFB ta có:

Do I nằm trên tia phân giác của góc CEA nên IA = IC (1)

Do I nằm trên tia phân giác của góc CFB nên IC = IB (2)

Từ (1) và (2) => IA = IB = IC

=> I cách đều đường thẳng a, b và c.

Hướng dẫn giải

widehat{NBA} = widehat{DAB}

1. Chứng minh rằng AM = AN

Ta có: (so le trong do BN // AD)

; (so le trong do CM // AD)

(trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau).

Vậy AM = AN (trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

2. Chứng minh rằng 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Ta có:

(góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)

(góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn)

Vậy tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện bằng nhau) hay B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

3. Chứng minh các đường thẳng EA; FP; AD đồng quy

Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt trong tam giác AHN cát tuyến EKQ, ta có:

(do Q là trung điểm của AN (giả thiết) nên QA = ON)

Gọi AD ∩ PE = {K'}. Ta đi chứng minh K' ≡ K

Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt trong tam giác AHM cát tuyến PKF ta có:

(Do là trung điểm của AM (gt) nên PA = PM (gt))

Ta sẽ chứng minh (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)Vì BN // AD // CM nên áp dụng định lý Ta - let ta có:

Lại có : (định lý đường phân giác), do đó:

Xét ΔAEF và ΔABC có: chung

Từ (1) và (2)

Tiếp tục áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác AEF ta có:

Từ (3) và (4) ta suy ra do đó được chứng minh, tức là

Từ suy ra , do đó K' ≡ K

Vậy EQ; FP; AD đồng quy tại K.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

Ta có: là tứ giác nội tiếp

b. Chứng minh AH . AO = AD. AE

Xét ACD và AEC có:

Góc A chung

(cùng chắn cung CD)

Áp dụng hệ thức lượng ta có: AH.AO = AC2 (2)

Từ (1) và (2) => AH.AO = AD.AE

c. Chứng minh rằng: IP + KQ ≥ PQ

Lại có:

Xét tam giác PIO và QOK có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có:

Vậy IP + KQ ≥ PQ.

Lời giải:

1. (HS tự làm).

2. Vì K là trung điểm NP nên OK ⊥ NP ( quan hệ đường kính

Hình vẽ minh họa

Và dây cung) => ∠OKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có ∠OAM = 900; ∠OBM = 900. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM.

Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R

=> OM là trung trực của AB => OM ⊥ AB tại I .

Theo tính chất tiếp tuyến ta có ∠OAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2.

4. Ta có OB ⊥ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.

OA ⊥ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.

=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.

5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ⊥ AB; cũng theo trên OM ⊥ AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB).

6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Ta có: OO' = OI + O'I. Vậy Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại I.

b) Xét Δ AIJ và ΔA'IJ' có:

c) Δ AIJ ∼ ΔA'IJ' (g - g)

(1)

(2)

Từ (1) và (2)

=> Δ IAB ∼ ΔIA'B' (c - g - c)

d) Chứng minh Δ AOB ∼ ΔA'O'B'

mà

=> Δ AOB ∼ ΔA'O'B'

e) Ta có: Δ AOB ∼ ΔA'O'B'

.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Xét (O) có OB = OC = OD suy ra hay ΔBDC vuông tại B (tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông).

Suy ra BD ⊥ AC.

ΔABD = ΔCBD nên DA = DC = 2R = 10cm.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Xét đường tròn (O') có OA là đường kính và C ∈ (O') nên

Xét đường tròn (O) có OA = OD => ΔOAD cân tại O có OC là đường cao nên cũng là đường trung tuyến hay là trung điểm của .

Xét tam giác AOD có O'C là đường trung bình nên O'C // OD.

Kẻ các tiếp tuyến Cx; Dy với các nưa đường tròn ta có Cx ⊥ O'C;Dy ⊥ OD mà O'C // OD nên Cx ⊥ Dy.

Do đó phương án A; B; C đúng.

Tứ giác ABA'B' có hai cạnh đối song song vậy là hình thang.

-

Hiểu rõ khái niệm cát tuyến, đặc biệt là cát tuyến của đường tròn, sẽ giúp học sinh lớp 9 giải quyết tốt các bài toán liên quan đến đường tròn, tam giác, tứ giác nội tiếp và các dạng toán chứng minh hình học. Đây cũng là nền tảng kiến thức quan trọng để học tốt chương trình hình học lớp 10 và các lớp cao hơn. Hãy luyện tập nhiều dạng bài, kết hợp với việc học lý thuyết một cách logic để ghi nhớ lâu hơn và xử lý linh hoạt trong các tình huống đề thi. Đừng quên lưu bài viết để ôn lại khi cần và chia sẻ cho bạn bè cùng học nhé!

Link nội dung: https://ohanapreschool.edu.vn/tinh-chat-cat-tuyen-a52096.html