Độ dài dây cung: Công thức tính, cách tính dây cung và bài tập

Độ dài dây cung là kiến thức quan trọng trong chương trình hình học đường tròn. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững công thức tính độ dài dây cung, cách tính độ dài dây cung theo bán kính, góc ở tâm, khoảng cách từ tâm đến dây cùng các ví dụ minh họa chi tiết và dễ hiểu nhất.

Dây cung là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính độ dài dây cung, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản:

Định nghĩa dây cung

Định nghĩa: Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ nằm trên đường tròn.

Đường kính: Là dây cung đi qua tâm đường tròn, có độ dài lớn nhất và bằng 2R.

Hình minh họa

A /| / | / | / | d (khoảng cách từ tâm) / | / |H /______|_______ O M B - O: Tâm đường tròn - R: Bán kính (OA = OB = R) - AB: Dây cung - OH = d: Khoảng cách từ tâm đến dây cung - H: Chân đường vuông góc từ O đến AB - M: Trung điểm của AB (H ≡ M)

Các yếu tố liên quan đến dây cung

Yếu tố Ký hiệu Mô tả Độ dài dây cung AB hoặc c Khoảng cách giữa hai điểm trên đường tròn Bán kính R Khoảng cách từ tâm đến điểm trên đường tròn Góc ở tâm ( alpha ) hoặc ( theta ) Góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai đầu dây Khoảng cách từ tâm d hoặc h Khoảng cách từ tâm O đến dây cung Cung ( stackrelfrown{AB} ) Phần đường tròn bị giới hạn bởi hai điểm A, B

Tiếp theo, hãy xem công thức tính độ dài dây cung chi tiết.

Công thức tính độ dài dây cung

Công thức tính độ dài dây cung có nhiều dạng tùy thuộc vào dữ kiện đã biết:

Công thức 1: Theo bán kính và góc ở tâm

Đây là công thức quan trọng nhất để tính dây cung:

[ c = 2R sinfrac{alpha}{2} ]

Trong đó:

• ( c ): Độ dài dây cung
• ( R ): Bán kính đường tròn
• ( alpha ): Góc ở tâm (đơn vị độ hoặc radian)

Chứng minh:

Gọi H là trung điểm của dây AB. Tam giác OAB cân tại O nên OH vuông góc với AB.

Trong tam giác vuông OAH:

[ AH = OA cdot sinfrac{alpha}{2} = R sinfrac{alpha}{2} ]

[ AB = 2 cdot AH = 2R sinfrac{alpha}{2} ]

Công thức 2: Theo bán kính và khoảng cách từ tâm

[ c = 2sqrt{R^2 - d^2} ]

Trong đó:

• ( c ): Độ dài dây cung
• ( R ): Bán kính đường tròn
• ( d ): Khoảng cách từ tâm O đến dây cung

Chứng minh:

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OHA:

[ OA^2 = OH^2 + AH^2 ]

[ R^2 = d^2 + AH^2 ]

[ AH = sqrt{R^2 - d^2} ]

[ AB = 2 cdot AH = 2sqrt{R^2 - d^2} ]

Công thức 3: Theo đường kính và góc nội tiếp

Nếu góc nội tiếp ( beta ) chắn dây cung AB:

[ c = 2R sinbeta ]

Lưu ý: Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung, nên ( beta = frac{alpha}{2} ).

Công thức 4: Theo tọa độ hai đầu mút

Nếu biết tọa độ hai điểm A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂):

[ c = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

Bảng tổng hợp công thức tính độ dài dây cung

STT Công thức tính dây cung Điều kiện áp dụng 1 ( c = 2Rsinfrac{alpha}{2} ) Biết R và góc ở tâm α 2 ( c = 2sqrt{R^2 - d^2} ) Biết R và khoảng cách d từ tâm 3 ( c = 2Rsinbeta ) Biết R và góc nội tiếp β 4 ( c = sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} ) Biết tọa độ hai đầu mút 5 ( c = 2R ) (đường kính) Dây cung đi qua tâm (α = 180°)

Cách tính độ dài dây cung theo từng trường hợp

Cách tính độ dài dây cung phụ thuộc vào dữ kiện đề bài cho:

Trường hợp 1: Biết bán kính R và góc ở tâm α

Các bước thực hiện:

1. Xác định bán kính R và góc ở tâm α
2. Đổi góc α sang radian nếu cần (hoặc giữ nguyên độ)
3. Áp dụng công thức: ( c = 2Rsinfrac{alpha}{2} )
4. Tính toán và kết luận

Ví dụ: Đường tròn bán kính R = 10 cm, góc ở tâm α = 60°. Tính độ dài dây cung.

[ c = 2 times 10 times sinfrac{60°}{2} = 20 times sin 30° = 20 times 0,5 = 10 text{ cm} ]

Trường hợp 2: Biết bán kính R và khoảng cách d

Các bước thực hiện:

1. Xác định bán kính R và khoảng cách d từ tâm đến dây
2. Kiểm tra điều kiện: d < R (nếu d = R thì dây tiếp xúc, d > R thì không có dây)
3. Áp dụng công thức: ( c = 2sqrt{R^2 - d^2} )
4. Tính toán và kết luận

Ví dụ: Đường tròn bán kính R = 13 cm, khoảng cách từ tâm đến dây d = 5 cm. Tính dây cung.

[ c = 2sqrt{13^2 - 5^2} = 2sqrt{169 - 25} = 2sqrt{144} = 2 times 12 = 24 text{ cm} ]

Trường hợp 3: Biết bán kính R và góc nội tiếp β

Các bước thực hiện:

1. Xác định bán kính R và góc nội tiếp β
2. Áp dụng công thức: ( c = 2Rsinbeta )
3. Tính toán và kết luận

Ví dụ: Đường tròn bán kính R = 8 cm, góc nội tiếp chắn cung là 45°. Tính độ dài dây cung.

[ c = 2 times 8 times sin 45° = 16 times frac{sqrt{2}}{2} = 8sqrt{2} approx 11,31 text{ cm} ]

Bảng giá trị đặc biệt

Các giá trị độ dài dây cung với góc ở tâm đặc biệt (R = 1):

Góc ở tâm α ( sinfrac{alpha}{2} ) Độ dài dây cung (c = 2R sin(α/2)) 30° ( sin 15° approx 0,259 ) ( c approx 0,518R ) 60° ( sin 30° = 0,5 ) ( c = R ) 90° ( sin 45° = frac{sqrt{2}}{2} ) ( c = Rsqrt{2} approx 1,414R ) 120° ( sin 60° = frac{sqrt{3}}{2} ) ( c = Rsqrt{3} approx 1,732R ) 180° ( sin 90° = 1 ) ( c = 2R ) (đường kính)

Mối quan hệ giữa dây cung và các yếu tố khác

Độ dài dây cung có mối quan hệ chặt chẽ với nhiều yếu tố trong đường tròn:

1. Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm

Định lý: Trong một đường tròn:

• Dây cung càng gần tâm thì càng dài
• Dây cung càng xa tâm thì càng ngắn
• Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
• Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Công thức liên hệ:

[ d = sqrt{R^2 - frac{c^2}{4}} ]

2. Quan hệ giữa dây cung và góc ở tâm

Định lý:

• Góc ở tâm càng lớn thì dây cung càng dài (với 0° < α ≤ 180°)
• Hai dây bằng nhau thì căng hai cung bằng nhau
• Hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau

Công thức tính góc ở tâm từ dây cung:

[ alpha = 2arcsinfrac{c}{2R} ]

3. Quan hệ giữa dây cung và độ dài cung

Độ dài cung:

[ l = R cdot alpha quad (alpha text{ tính bằng radian}) ]

Hoặc:

[ l = frac{pi R alpha}{180°} quad (alpha text{ tính bằng độ}) ]

Lưu ý: Độ dài cung luôn lớn hơn độ dài dây cung (trừ khi α = 0).

Bảng so sánh dây cung và cung

Đặc điểm Dây cung Cung tròn Hình dạng Đoạn thẳng Đường cong Công thức độ dài ( c = 2Rsinfrac{alpha}{2} ) ( l = Ralpha ) (radian) Độ dài tối đa 2R (đường kính) ( pi R ) (nửa đường tròn) Khi α = 60° ( c = R ) ( l = frac{pi R}{3} approx 1,047R ) Khi α = 90° ( c = Rsqrt{2} ) ( l = frac{pi R}{2} approx 1,571R ) Khi α = 180° ( c = 2R ) ( l = pi R approx 3,14R )

4. Quan hệ với diện tích

Diện tích hình quạt:

[ S_{quạt} = frac{1}{2}R^2alpha = frac{1}{2}Rl quad (alpha text{ radian}) ]

Diện tích hình viên phân:

[ S_{viên phân} = frac{R^2}{2}(alpha - sinalpha) quad (alpha text{ radian}) ]

Các tính chất quan trọng của dây cung

Khi tính dây cung, cần nắm vững các tính chất sau:

Tính chất 1: Đường kính vuông góc với dây

Định lý: Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó và chia đôi các cung bị chắn.

Hệ quả: Đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây.

Tính chất 2: Đường nối tâm và trung điểm dây

Định lý: Đường thẳng đi qua tâm và trung điểm của một dây (không phải đường kính) thì vuông góc với dây đó.

Tính chất 3: Trung trực của dây cung

Định lý: Đường trung trực của một dây cung đi qua tâm đường tròn.

Tính chất 4: Dây cung và góc nội tiếp

Định lý:

• Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung
• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Tính chất 5: Dây cung lớn nhất

Định lý: Trong các dây cung của một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

[ c_{max} = 2R ]

Bảng tổng hợp tính chất

STT Tính chất Ứng dụng 1 OH ⊥ AB ⇒ H là trung điểm AB Tìm trung điểm dây cung 2 H là trung điểm AB ⇒ OH ⊥ AB Chứng minh vuông góc 3 AB = CD ⇔ d(O, AB) = d(O, CD) So sánh độ dài dây 4 Góc nội tiếp = ½ góc ở tâm Tính góc và dây cung 5 Đường kính là dây cung lớn nhất Tìm dây cung max

Ví dụ tính độ dài dây cung chi tiết

Dưới đây là các ví dụ minh họa cách tính độ dài dây cung từ cơ bản đến nâng cao:

Ví dụ 1: Tính dây cung khi biết R và góc ở tâm

Đề bài: Đường tròn (O; R) với R = 6 cm, góc ở tâm α = 120°. Tính độ dài dây cung AB.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính độ dài dây cung:

[ AB = 2Rsinfrac{alpha}{2} = 2 times 6 times sinfrac{120°}{2} ]

[ = 12 times sin 60° = 12 times frac{sqrt{3}}{2} = 6sqrt{3} approx 10,39 text{ cm} ]

Đáp số: AB = 6√3 ≈ 10,39 cm

Ví dụ 2: Tính dây cung khi biết R và khoảng cách từ tâm

Đề bài: Đường tròn (O; 10) có dây AB cách tâm O một khoảng 6 cm. Tính dây cung AB.

Lời giải:

Áp dụng công thức:

[ AB = 2sqrt{R^2 - d^2} = 2sqrt{10^2 - 6^2} ]

[ = 2sqrt{100 - 36} = 2sqrt{64} = 2 times 8 = 16 text{ cm} ]

Đáp số: AB = 16 cm

Ví dụ 3: Tính bán kính khi biết dây cung và khoảng cách

Đề bài: Dây cung AB = 24 cm cách tâm O một khoảng 5 cm. Tính bán kính đường tròn.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm AB, ta có:

[ AH = frac{AB}{2} = 12 text{ cm} ]

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác OHA:

[ R^2 = OH^2 + AH^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 ]

[ R = 13 text{ cm} ]

Đáp số: R = 13 cm

Ví dụ 4: Tính góc ở tâm khi biết dây cung và bán kính

Đề bài: Đường tròn bán kính R = 8 cm có dây cung AB = 8 cm. Tính góc ở tâm AOB.

Lời giải:

Từ công thức: ( AB = 2Rsinfrac{alpha}{2} )

[ 8 = 2 times 8 times sinfrac{alpha}{2} ]

[ sinfrac{alpha}{2} = frac{8}{16} = frac{1}{2} ]

[ frac{alpha}{2} = 30° ]

[ alpha = 60° ]

Đáp số: Góc ở tâm AOB = 60°

Ví dụ 5: So sánh hai dây cung

Đề bài: Trong đường tròn (O; 10), dây AB cách tâm 6 cm, dây CD cách tâm 8 cm. So sánh độ dài hai dây.

Lời giải:

Tính AB:

[ AB = 2sqrt{10^2 - 6^2} = 2sqrt{64} = 16 text{ cm} ]

Tính CD:

[ CD = 2sqrt{10^2 - 8^2} = 2sqrt{36} = 12 text{ cm} ]

Kết luận: AB > CD (vì dây AB gần tâm hơn nên dài hơn)

Ví dụ 6: Bài toán hình học tổng hợp

Đề bài: Cho đường tròn (O; R), hai dây AB và CD vuông góc với nhau tại M. Biết MA = 4 cm, MB = 9 cm, MC = 6 cm. Tính MD và bán kính R.

Lời giải:

Áp dụng tính chất hai dây cắt nhau:

[ MA times MB = MC times MD ]

[ 4 times 9 = 6 times MD ]

[ MD = 6 text{ cm} ]

Tính các dây:

[ AB = MA + MB = 4 + 9 = 13 text{ cm} ]

[ CD = MC + MD = 6 + 6 = 12 text{ cm} ]

Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB và CD:

[ OH = |MH| = left|frac{AB}{2} - MAright| = left|frac{13}{2} - 4right| = 2,5 text{ cm} ]

[ OK = |MK| = left|frac{CD}{2} - MCright| = |6 - 6| = 0 text{ cm} ]

Vì AB ⊥ CD và OK = 0 nên O nằm trên CD.

[ R^2 = OH^2 + left(frac{AB}{2}right)^2 ]

(Bài toán cần thêm điều kiện để xác định R chính xác)

Ví dụ 7: Dây cung trong tam giác nội tiếp

Đề bài: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) với R = 5 cm, góc A = 30°. Tính độ dài cạnh BC.

Lời giải:

BC là dây cung chắn góc nội tiếp A = 30°.

Áp dụng công thức:

[ BC = 2Rsin A = 2 times 5 times sin 30° = 10 times 0,5 = 5 text{ cm} ]

Đáp số: BC = 5 cm

Bài tập tính dây cung (có lời giải)

Dưới đây là các bài tập về công thức tính độ dài dây cung từ cơ bản đến nâng cao:

Dạng 1: Tính dây cung theo R và góc ở tâm

Bài tập 1: Tính độ dài dây cung AB của đường tròn (O; R) với:

a) R = 10 cm, α = 60°

b) R = 8 cm, α = 90°

c) R = 12 cm, α = 45°

Lời giải:

a) ( AB = 2 times 10 times sin 30° = 20 times 0,5 = 10 ) cm

b) ( AB = 2 times 8 times sin 45° = 16 times frac{sqrt{2}}{2} = 8sqrt{2} approx 11,31 ) cm

c) ( AB = 2 times 12 times sin 22,5° approx 24 times 0,383 approx 9,19 ) cm

Dạng 2: Tính dây cung theo R và khoảng cách từ tâm

Bài tập 2: Tính dây cung AB với:

a) R = 5 cm, d = 3 cm

b) R = 17 cm, d = 8 cm

c) R = 25 cm, d = 7 cm

Lời giải:

a) ( AB = 2sqrt{25 - 9} = 2sqrt{16} = 8 ) cm

b) ( AB = 2sqrt{289 - 64} = 2sqrt{225} = 30 ) cm

c) ( AB = 2sqrt{625 - 49} = 2sqrt{576} = 48 ) cm

Dạng 3: Tìm bán kính hoặc khoảng cách

Bài tập 3: Tìm R hoặc d:

a) AB = 16 cm, d = 6 cm. Tìm R.

b) AB = 10 cm, R = 13 cm. Tìm d.

Lời giải:

a) ( R = sqrt{d^2 + left(frac{AB}{2}right)^2} = sqrt{36 + 64} = 10 ) cm

b) ( d = sqrt{R^2 - left(frac{AB}{2}right)^2} = sqrt{169 - 25} = 12 ) cm

Dạng 4: Tính góc ở tâm

Bài tập 4: Đường tròn (O; 10) có dây AB = 10 cm. Tính góc ở tâm AOB.

Lời giải:

[ sinfrac{alpha}{2} = frac{AB}{2R} = frac{10}{20} = 0,5 ]

[ frac{alpha}{2} = 30° Rightarrow alpha = 60° ]

Dạng 5: So sánh các dây cung

Bài tập 5: Trong đường tròn (O; 13), có các dây: AB cách tâm 5 cm, CD cách tâm 12 cm. Tính và so sánh độ dài các dây.

Lời giải:

[ AB = 2sqrt{169 - 25} = 2sqrt{144} = 24 text{ cm} ]

[ CD = 2sqrt{169 - 144} = 2sqrt{25} = 10 text{ cm} ]

Vậy AB > CD

Dạng 6: Bài toán tổng hợp

Bài tập 6: Cho đường tròn (O; 10), dây AB có độ dài 16 cm. Tính:

a) Khoảng cách từ tâm đến dây AB

b) Góc ở tâm AOB

c) Độ dài cung nhỏ AB

Lời giải:

a) ( d = sqrt{100 - 64} = 6 ) cm

b) ( sinfrac{alpha}{2} = frac{8}{10} = 0,8 Rightarrow frac{alpha}{2} approx 53,13° Rightarrow alpha approx 106,26° )

c) ( l = frac{pi R alpha}{180°} = frac{pi times 10 times 106,26}{180} approx 18,55 ) cm

Dạng 7: Bài toán thực tế

Bài tập 7: Một cây cầu hình cung có dạng cung tròn với bán kính 50 m, góc ở tâm 60°. Tính độ dài dây cung (khoảng cách giữa hai đầu cầu theo đường thẳng).

Lời giải:

[ c = 2Rsinfrac{alpha}{2} = 2 times 50 times sin 30° = 100 times 0,5 = 50 text{ m} ]

Đáp số: 50 m

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã nắm vững công thức tính độ dài dây cung với hai công thức chính: ( c = 2Rsinfrac{alpha}{2} ) (theo góc ở tâm) và ( c = 2sqrt{R^2 - d^2} ) (theo khoảng cách từ tâm). Cách tính độ dài dây cung phụ thuộc vào dữ kiện đề bài cho, cần xác định rõ bán kính R, góc ở tâm α hoặc khoảng cách d. Độ dài dây cung có mối quan hệ chặt chẽ với các yếu tố khác trong đường tròn như góc nội tiếp, độ dài cung, diện tích hình quạt. Nắm vững công thức tính dây cung sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán hình học đường tròn.