Pt bậc 3: Công thức delta, Vi-ét và nghiệm phương trình bậc ba

Phương trình bậc 3 là một trong những dạng phương trình quan trọng trong chương trình Toán THPT, đặc biệt xuất hiện nhiều trong các bài toán khảo sát hàm số và giải phương trình. Phương trình bậc 3 là phương trình có dạng ax³ + bx² + cx + d = 0 với a ≠ 0, luôn có ít nhất một nghiệm thực. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, các phương pháp giải và ví dụ minh họa chi tiết.

1. Phương trình bậc 3 là gì?

Phương trình bậc 3 là dạng phương trình đại số cơ bản với bậc cao nhất là 3:

1.1. Định nghĩa

Phương trình bậc 3 (hay phương trình bậc ba) một ẩn là phương trình có dạng:

[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 quad (a neq 0) ]

Trong đó:

1.2. Tính chất cơ bản

Tính chất Nội dung Số nghiệm thực Luôn có ít nhất 1 nghiệm thực, tối đa 3 nghiệm Số nghiệm phức Luôn có đúng 3 nghiệm (kể cả nghiệm kép, nghiệm phức) Nghiệm phức Nếu có nghiệm phức thì đi theo cặp liên hợp

1.3. Ví dụ phương trình bậc 3

Phương trình a b c d ( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 ) 1 −6 11 −6 ( 2x^3 + 3x^2 - 5x = 0 ) 2 3 −5 0 ( x^3 - 8 = 0 ) 1 0 0 −8 ( x^3 + x = 0 ) 1 0 1 0

1.4. Lịch sử

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 3 được tìm ra bởi các nhà toán học Ý vào thế kỷ 16:

2. Các dạng phương trình bậc 3

Phương trình bậc 3 có nhiều dạng đặc biệt:

2.1. Dạng tổng quát

[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 quad (a neq 0) ]

2.2. Dạng chính tắc (khuyết bậc 2)

[ x^3 + px + q = 0 ]

Cách đưa về dạng chính tắc: Đặt ( x = t - frac{b}{3a} )

2.3. Các dạng đặc biệt thường gặp

Dạng Điều kiện Phương pháp giải Khuyết d: ( ax^3 + bx^2 + cx = 0 ) d = 0 Đặt x làm nhân tử chung Khuyết b, d: ( ax^3 + cx = 0 ) b = d = 0 Đặt x làm nhân tử chung Khuyết b, c: ( ax^3 + d = 0 ) b = c = 0 Giải trực tiếp ( x^3 = -frac{d}{a} ) Tổng/hiệu lập phương ( x^3 pm k^3 = 0 ) Dùng hằng đẳng thức Có nghiệm nguyên d chia hết cho a Nhẩm nghiệm + Horner

2.4. Dạng đối xứng

[ ax^3 + bx^2 + bx + a = 0 quad (a neq 0) ]

Đặc điểm: x = −1 luôn là nghiệm

2.5. Dạng phản đối xứng

[ ax^3 + bx^2 - bx - a = 0 quad (a neq 0) ]

Đặc điểm: x = 1 luôn là nghiệm

3. Phương pháp giải phương trình bậc 3 bằng nhẩm nghiệm

Đây là phương pháp phổ biến nhất để giải phương trình bậc 3:

3.1. Nguyên lý

Nếu phương trình bậc 3 có nghiệm hữu tỉ ( x = frac{p}{q} ) (p, q nguyên tố cùng nhau) thì:

Trường hợp đặc biệt: Nếu a = 1 thì nghiệm hữu tỉ (nếu có) là ước của d.

3.2. Các bước giải

  1. Bước 1: Liệt kê các ước của d (và a nếu a ≠ 1)
  2. Bước 2: Thử các giá trị để tìm nghiệm x₀
  3. Bước 3: Phân tích đa thức: ( ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_0)(x^2 + mx + n) )
  4. Bước 4: Giải phương trình bậc 2 còn lại

3.3. Sơ đồ Horner

Dùng để chia đa thức khi đã biết một nghiệm x₀:

a b c d x₀ a·x₀ (b + ax₀)·x₀ … Kết quả a b + ax₀ c + (b + ax₀)·x₀ 0

3.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Giải phương trình ( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 )

Lời giải:

Ước của d = −6: ±1, ±2, ±3, ±6

Thử x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 ✓

Sơ đồ Horner với x₀ = 1:

1 −6 11 −6 1 1 −5 6 1 −5 6 0

[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) ]

Nghiệm: x ∈ {1, 2, 3}

4. Phương pháp đặt ẩn phụ

Một số dạng phương trình bậc 3 có thể giải bằng đặt ẩn phụ:

4.1. Dạng bậc 3 khuyết bậc 2: ax³ + cx + d = 0

Phương pháp: Đặt x = u + v với điều kiện 3uv = −c/a

4.2. Dạng đối xứng: ax³ + bx² + bx + a = 0

Phương pháp:

Chia cả hai vế cho x² (x ≠ 0):

[ aleft(x + frac{1}{x}right) + bleft(1 + frac{1}{x}right) + frac{b}{x} = 0 ]

Hoặc nhận thấy x = −1 là nghiệm, phân tích:

[ ax^3 + bx^2 + bx + a = (x + 1)(ax^2 + (b-a)x + a) ]

4.3. Dạng: (x + a)³ + (x + b)³ = c

Phương pháp: Đặt ( t = x + frac{a+b}{2} )

4.4. Dạng: x³ + 3ax² + 3a²x + a³ = b

Nhận dạng: Vế trái là (x + a)³

[ (x + a)^3 = b Rightarrow x = sqrt[3]{b} - a ]

4.5. Ví dụ

Ví dụ: Giải phương trình ( x^3 + 3x^2 + 3x - 7 = 0 )

Lời giải:

Nhận thấy: ( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3 )

Phương trình tương đương:

[ (x + 1)^3 - 8 = 0 ]

[ (x + 1)^3 = 8 = 2^3 ]

[ x + 1 = 2 ]

[ x = 1 ]

Nghiệm: x = 1

5. Công thức Cardano

Công thức Cardano là công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 3:

5.1. Dạng chính tắc

Xét phương trình dạng chính tắc:

[ x^3 + px + q = 0 ]

5.2. Biệt thức Delta

[ Delta = -4p^3 - 27q^2 ]

Hoặc viết dưới dạng:

[ Delta = left(frac{q}{2}right)^2 + left(frac{p}{3}right)^3 ]

5.3. Công thức nghiệm Cardano

Đặt:

[ u = sqrt[3]{-frac{q}{2} + sqrt{Delta}} quad ; quad v = sqrt[3]{-frac{q}{2} - sqrt{Delta}} ]

Với điều kiện: ( uv = -frac{p}{3} )

Ba nghiệm:

[ x_1 = u + v ]

[ x_2 = omega u + omega^2 v ]

[ x_3 = omega^2 u + omega v ]

Trong đó ( omega = frac{-1 + isqrt{3}}{2} ) là căn bậc 3 của đơn vị.

5.4. Các trường hợp theo Delta

Điều kiện Số nghiệm thực Đặc điểm Δ > 0 1 nghiệm thực 2 nghiệm phức liên hợp Δ = 0 2 nghiệm thực (có nghiệm kép) 3 nghiệm thực, ít nhất 2 bằng nhau Δ < 0 3 nghiệm thực phân biệt Casus irreducibilis

5.5. Đưa về dạng chính tắc

Từ phương trình tổng quát ( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ):

Bước 1: Chia cho a: ( x^3 + frac{b}{a}x^2 + frac{c}{a}x + frac{d}{a} = 0 )

Bước 2: Đặt ( x = t - frac{b}{3a} ) để khử bậc 2

Được dạng chính tắc ( t^3 + pt + q = 0 ) với:

[ p = frac{c}{a} - frac{b^2}{3a^2} = frac{3ac - b^2}{3a^2} ]

[ q = frac{d}{a} - frac{bc}{3a^2} + frac{2b^3}{27a^3} = frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} ]

5.6. Ví dụ áp dụng Cardano

Ví dụ: Giải phương trình ( x^3 - 6x - 9 = 0 )

Lời giải:

Đây là dạng chính tắc với p = −6, q = −9

[ Delta = left(frac{-9}{2}right)^2 + left(frac{-6}{3}right)^3 = frac{81}{4} - 8 = frac{49}{4} > 0 ]

[ sqrt{Delta} = frac{7}{2} ]

[ u = sqrt[3]{-frac{-9}{2} + frac{7}{2}} = sqrt[3]{8} = 2 ]

[ v = sqrt[3]{-frac{-9}{2} - frac{7}{2}} = sqrt[3]{1} = 1 ]

Nghiệm thực: ( x_1 = u + v = 2 + 1 = 3 )

Kiểm tra: 3³ − 6(3) − 9 = 27 − 18 − 9 = 0 ✓

6. Hệ thức Viète cho phương trình bậc 3

Hệ thức Viète mở rộng cho phương trình bậc 3:

6.1. Công thức Viète

Nếu phương trình ( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ) có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃ thì:

[ begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -frac{b}{a} x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = frac{c}{a} x_1x_2x_3 = -frac{d}{a} end{cases} ]

6.2. Ký hiệu gọn

Đặt:

6.3. Các hệ thức liên quan

Biểu thức Công thức theo S₁, S₂, S₃ ( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 ) ( S_1^2 - 2S_2 ) ( x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 ) ( S_1^3 - 3S_1S_2 + 3S_3 ) ( frac{1}{x_1} + frac{1}{x_2} + frac{1}{x_3} ) ( frac{S_2}{S_3} ) (S₃ ≠ 0) ( x_1^2x_2^2 + x_2^2x_3^2 + x_3^2x_1^2 ) ( S_2^2 - 2S_1S_3 ) ( (x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2(x_3-x_1)^2 ) ( -frac{Delta}{a^2} )

6.4. Định lý Viète đảo

Nếu ba số x₁, x₂, x₃ có:

Thì x₁, x₂, x₃ là nghiệm của phương trình:

[ x^3 - S_1x^2 + S_2x - S_3 = 0 ]

6.5. Ví dụ

Ví dụ: Cho phương trình ( x^3 - 3x^2 + 2x + 1 = 0 ) có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Tính ( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 ).

Lời giải:

Theo Viète: S₁ = 3, S₂ = 2, S₃ = −1

[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = S_1^2 - 2S_2 = 9 - 4 = 5 ]

Kết quả: 5

7. Điều kiện nghiệm của phương trình bậc 3

Xét các điều kiện về nghiệm của phương trình bậc 3:

7.1. Điều kiện có 3 nghiệm thực phân biệt

Xét phương trình chính tắc ( x^3 + px + q = 0 ):

[ Delta = left(frac{q}{2}right)^2 + left(frac{p}{3}right)^3 < 0 ]

Tương đương: ( -4p^3 > 27q^2 ) (với p < 0)

7.2. Điều kiện có nghiệm kép

[ Delta = 0 ]

7.3. Điều kiện có đúng 1 nghiệm thực

[ Delta > 0 ]

7.4. Bảng tổng hợp

Điều kiện Δ Nghiệm thực Nghiệm phức Δ < 0 3 nghiệm phân biệt Không có Δ = 0 Có nghiệm kép Không có Δ > 0 1 nghiệm 2 nghiệm liên hợp

7.5. Dùng đạo hàm để xét nghiệm

Xét ( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d )

[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c ]

Nếu f'(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép: f(x) đơn điệu → PT có đúng 1 nghiệm thực

Nếu f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁ < x₂:

8. Các dạng phương trình bậc 3 đặc biệt

Một số dạng phương trình bậc 3 có cách giải riêng:

8.1. Dạng khuyết hệ số tự do: ax³ + bx² + cx = 0

[ x(ax^2 + bx + c) = 0 ]

Nghiệm: x = 0 hoặc giải phương trình bậc 2

8.2. Dạng tổng lập phương: x³ + a³ = 0

[ x^3 = -a^3 Rightarrow x = -a ]

Hoặc phân tích:

[ x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2) = 0 ]

8.3. Dạng hiệu lập phương: x³ − a³ = 0

[ x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + ax + a^2) = 0 ]

Nghiệm thực: x = a

8.4. Dạng có hệ số đối xứng

[ ax^3 + bx^2 + bx + a = 0 ]

x = −1 là nghiệm, phân tích:

[ (x + 1)(ax^2 + (b-a)x + a) = 0 ]

8.5. Dạng có hệ số phản đối xứng

[ ax^3 + bx^2 - bx - a = 0 ]

x = 1 là nghiệm, phân tích:

[ (x - 1)(ax^2 + (a+b)x + a) = 0 ]

8.6. Dạng đẳng cấp

[ ax^3 + bx^2y + cxy^2 + dy^3 = 0 ]

Phương pháp: Chia cho y³, đặt t = x/y

8.7. Bảng tổng hợp các dạng đặc biệt

Dạng Nghiệm hiển nhiên Phân tích ( ax^3 + bx^2 + cx = 0 ) x = 0 ( x(ax^2 + bx + c) ) ( x^3 - a^3 = 0 ) x = a ( (x-a)(x^2+ax+a^2) ) ( x^3 + a^3 = 0 ) x = −a ( (x+a)(x^2-ax+a^2) ) Đối xứng x = −1 ( (x+1)(ax^2+…) ) Phản đối xứng x = 1 ( (x-1)(ax^2+…) )

9. Đồ thị hàm số bậc 3 và nghiệm phương trình

Mối liên hệ giữa đồ thị hàm bậc 3 và nghiệm phương trình bậc 3:

9.1. Hàm số bậc 3

[ y = ax^3 + bx^2 + cx + d quad (a neq 0) ]

9.2. Nghiệm phương trình là giao điểm với trục Ox

Nghiệm của ( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox.

9.3. Các dạng đồ thị

Điều kiện Hình dạng Số giao điểm với Ox a > 0, có 2 cực trị Tăng - Giảm - Tăng 1, 2 hoặc 3 a < 0, có 2 cực trị Giảm - Tăng - Giảm 1, 2 hoặc 3 a > 0, không có cực trị Luôn tăng Đúng 1 a < 0, không có cực trị Luôn giảm Đúng 1

9.4. Điều kiện để có 2 cực trị

f'(x) = 3ax² + 2bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt:

[ Delta’ = b^2 - 3ac > 0 ]

9.5. Điều kiện để PT có 3 nghiệm phân biệt (qua đồ thị)

Gọi x₁ < x₂ là 2 điểm cực trị:

[ f(x_1) cdot f(x_2) < 0 ]

Tức là: Cực đại và cực tiểu nằm khác phía so với trục Ox.

10. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững cách giải phương trình bậc 3, hãy làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Giải bằng nhẩm nghiệm

Đề bài: Giải phương trình ( x^3 - 7x + 6 = 0 )

Lời giải:

Ước của 6: ±1, ±2, ±3, ±6

Thử x = 1: 1 − 7 + 6 = 0 ✓

Phân tích (dùng Horner hoặc chia đa thức):

[ x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6) = (x - 1)(x + 3)(x - 2) ]

Nghiệm: x ∈ {−3, 1, 2}

Bài tập 2: Giải phương trình khuyết

Đề bài: Giải phương trình ( 2x^3 - 5x^2 - 3x = 0 )

Lời giải:

[ x(2x^2 - 5x - 3) = 0 ]

x = 0 hoặc ( 2x^2 - 5x - 3 = 0 )

Giải phương trình bậc 2:

( Delta = 25 + 24 = 49 )

( x = frac{5 pm 7}{4} )

x = 3 hoặc x = −1/2

Nghiệm: x ∈ {−1/2, 0, 3}

Bài tập 3: Giải phương trình đối xứng

Đề bài: Giải phương trình ( x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = 0 )

Lời giải:

Đây là dạng đối xứng (hệ số: 1, 2, 2, 1)

x = −1 là nghiệm (thử: −1 + 2 − 2 + 1 = 0 ✓)

Phân tích:

[ x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1) = 0 ]

Giải ( x^2 + x + 1 = 0 ): Δ = 1 − 4 = −3 < 0 → Vô nghiệm thực

Nghiệm: x = −1

Bài tập 4: Giải phương trình dạng lập phương

Đề bài: Giải phương trình ( x^3 - 27 = 0 )

Lời giải:

[ x^3 = 27 = 3^3 ]

[ x = 3 ]

Hoặc phân tích:

[ x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) = 0 ]

x = 3 hoặc ( x^2 + 3x + 9 = 0 ) (Δ = 9 − 36 = −27 < 0, vô nghiệm thực)

Nghiệm: x = 3

Bài tập 5: Giải phương trình có tham số

Đề bài: Giải phương trình ( x^3 - 3x^2 + 4 = 0 )

Lời giải:

Thử x = −1: −1 − 3 + 4 = 0 ✓

Dùng Horner:

1 −3 0 4 −1 −1 4 −4 1 −4 4 0

[ x^3 - 3x^2 + 4 = (x + 1)(x^2 - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)^2 = 0 ]

Nghiệm: x = −1 hoặc x = 2 (nghiệm kép)

Bài tập 6: Dùng hệ thức Viète

Đề bài: Cho phương trình ( x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0 ) có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃. Tính ( frac{1}{x_1} + frac{1}{x_2} + frac{1}{x_3} ).

Lời giải:

Theo Viète:

[ frac{1}{x_1} + frac{1}{x_2} + frac{1}{x_3} = frac{x_2x_3 + x_3x_1 + x_1x_2}{x_1x_2x_3} = frac{S_2}{S_3} = frac{3}{1} = 3 ]

Kết quả: 3

Bài tập 7: Giải bằng đặt ẩn phụ

Đề bài: Giải phương trình ( x^3 + 6x^2 + 12x + 7 = 0 )

Lời giải:

Nhận thấy: ( x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)^3 )

Phương trình tương đương:

[ (x + 2)^3 - 1 = 0 ]

[ (x + 2)^3 = 1 ]

[ x + 2 = 1 ]

[ x = -1 ]

Nghiệm: x = −1

Bài tập 8: Tìm điều kiện để có 3 nghiệm phân biệt

Đề bài: Tìm m để phương trình ( x^3 - 3x + m = 0 ) có 3 nghiệm thực phân biệt.

Lời giải:

Xét hàm số ( f(x) = x^3 - 3x + m )

( f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 0 )

⟹ x = ±1

Cực đại tại x = −1: f(−1) = −1 + 3 + m = m + 2

Cực tiểu tại x = 1: f(1) = 1 − 3 + m = m − 2

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt ⟺ f(−1).f(1) < 0

[ (m + 2)(m - 2) < 0 ]

[ m^2 - 4 < 0 ]

[ -2 < m < 2 ]

Kết quả: −2 < m < 2

Bài tập 9: Lập phương trình bậc 3

Đề bài: Lập phương trình bậc 3 có các nghiệm là 1, 2, 3.

Lời giải:

Theo Viète đảo:

Phương trình cần tìm:

[ x^3 - S_1x^2 + S_2x - S_3 = 0 ]

[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 ]

Kết quả: ( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 )

Bài tập 10: Giải phương trình bằng Cardano

Đề bài: Giải phương trình ( x^3 + 3x - 4 = 0 )

Lời giải:

Đây là dạng chính tắc với p = 3, q = −4

[ Delta = left(frac{-4}{2}right)^2 + left(frac{3}{3}right)^3 = 4 + 1 = 5 > 0 ]

→ Phương trình có 1 nghiệm thực

Cách khác: Nhẩm nghiệm

Thử x = 1: 1 + 3 − 4 = 0 ✓

Phân tích:

[ x^3 + 3x - 4 = (x - 1)(x^2 + x + 4) = 0 ]

( x^2 + x + 4 = 0 ): Δ = 1 − 16 = −15 < 0 (vô nghiệm thực)

Nghiệm: x = 1

Bài tập 11: Phương trình có chứa căn

Đề bài: Giải phương trình ( x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0 )

Lời giải:

Thử x = 1: 1 − 6 + 9 − 4 = 0 ✓

Thử x = 4: 64 − 96 + 36 − 4 = 0 ✓

Phân tích:

[ x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = (x - 1)(x^2 - 5x + 4) = (x - 1)(x - 1)(x - 4) = (x - 1)^2(x - 4) ]

Nghiệm: x = 1 (nghiệm kép) hoặc x = 4

Bài tập 12: Bài toán thực tế

Đề bài: Một hình hộp chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, chiều cao bằng chiều rộng trừ 1. Biết thể tích bằng 4. Tìm các kích thước.

Lời giải:

Gọi chiều rộng là x (x > 1)

Thể tích: ( V = x cdot 2x cdot (x - 1) = 2x^2(x - 1) = 4 )

[ 2x^3 - 2x^2 = 4 ]

[ x^3 - x^2 - 2 = 0 ]

Thử x = 2: 8 − 4 − 2 = 2 ≠ 0

Nhẩm nghiệm khó, dùng cách khác:

Viết lại: ( x^3 - x^2 - 2 = (x - sqrt[3]{2})(x^2 + …) )? Không đơn giản.

Thử x ≈ 1.52 (bằng máy tính)

Phân tích: Thử một số giá trị, ta thấy nghiệm xấp xỉ x ≈ 1.52

Kết quả: Chiều rộng ≈ 1.52, Chiều dài ≈ 3.04, Chiều cao ≈ 0.52

11. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ về phương trình bậc 3 cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững kiến thức về phương trình bậc 3 và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!

Link nội dung: https://ohanapreschool.edu.vn/delta-ham-bac-3-a50624.html