Đạo hàm căn: Công thức đạo hàm căn x, căn u, căn bậc 2 và bậc n

Đạo hàm căn là một trong những dạng đạo hàm quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán THPT và Đại học, đặc biệt trong các bài toán khảo sát hàm số và tính giới hạn. Đạo hàm căn bậc hai của x là ( (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} ), và đạo hàm căn bậc n của x là ( (sqrt[n]{x})’ = frac{1}{nsqrt[n]{x^{n-1}}} ). Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững tất cả các công thức đạo hàm căn cùng ví dụ minh họa chi tiết.

1. Đạo hàm căn là gì?

Trước khi tìm hiểu các công thức đạo hàm căn, ta cần nắm vững một số khái niệm cơ bản.

1.1. Khái niệm đạo hàm

Định nghĩa: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là giới hạn:

[ f'(x_0) = lim_{x to x_0} frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = lim_{Delta x to 0} frac{f(x_0 + Delta x) - f(x_0)}{Delta x} ]

1.2. Hàm căn và điều kiện xác định

Hàm số Điều kiện xác định Ghi chú ( y = sqrt{x} ) ( x geq 0 ) Căn bậc 2 ( y = sqrt[n]{x} ) (n chẵn) ( x geq 0 ) Căn bậc chẵn ( y = sqrt[n]{x} ) (n lẻ) ( x in mathbb{R} ) Căn bậc lẻ ( y = sqrt{u(x)} ) ( u(x) geq 0 ) Căn của hàm hợp

1.3. Viết căn dưới dạng lũy thừa

Để tính đạo hàm căn, ta thường chuyển về dạng lũy thừa:

Dạng căn Dạng lũy thừa ( sqrt{x} ) ( x^{frac{1}{2}} ) ( sqrt[3]{x} ) ( x^{frac{1}{3}} ) ( sqrt[n]{x} ) ( x^{frac{1}{n}} ) ( sqrt[n]{x^m} ) ( x^{frac{m}{n}} ) ( frac{1}{sqrt{x}} ) ( x^{-frac{1}{2}} )

2. Công thức đạo hàm căn bậc hai

Đạo hàm căn bậc hai là công thức được sử dụng phổ biến nhất:

2.1. Công thức cơ bản

Công thức:

[ (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} quad (x > 0) ]

2.2. Chứng minh công thức

Cách 1: Dùng định nghĩa đạo hàm

[ (sqrt{x})’ = lim_{Delta x to 0} frac{sqrt{x + Delta x} - sqrt{x}}{Delta x} ]

Nhân liên hợp:

[ = lim_{Delta x to 0} frac{(sqrt{x + Delta x} - sqrt{x})(sqrt{x + Delta x} + sqrt{x})}{Delta x(sqrt{x + Delta x} + sqrt{x})} ]

[ = lim_{Delta x to 0} frac{(x + Delta x) - x}{Delta x(sqrt{x + Delta x} + sqrt{x})} ]

[ = lim_{Delta x to 0} frac{Delta x}{Delta x(sqrt{x + Delta x} + sqrt{x})} = frac{1}{2sqrt{x}} ]

Cách 2: Dùng công thức lũy thừa

[ (sqrt{x})’ = (x^{frac{1}{2}})’ = frac{1}{2} x^{frac{1}{2} - 1} = frac{1}{2} x^{-frac{1}{2}} = frac{1}{2sqrt{x}} ]

2.3. Đạo hàm căn của hàm số u(x)

Công thức:

[ (sqrt{u})’ = frac{u’}{2sqrt{u}} quad (u > 0) ]

Ví dụ:

2.4. Các dạng đặc biệt của căn bậc hai

Hàm số Đạo hàm căn Điều kiện ( sqrt{x} ) ( frac{1}{2sqrt{x}} ) x > 0 ( sqrt{ax + b} ) ( frac{a}{2sqrt{ax + b}} ) ax + b > 0 ( sqrt{ax^2 + bx + c} ) ( frac{2ax + b}{2sqrt{ax^2 + bx + c}} ) ( ax^2 + bx + c > 0 ) ( sqrt{u(x)} ) ( frac{u'(x)}{2sqrt{u(x)}} ) u(x) > 0

3. Công thức đạo hàm căn bậc n

Đạo hàm căn bậc n là dạng tổng quát hóa của đạo hàm căn bậc hai:

3.1. Công thức cơ bản

Công thức:

[ (sqrt[n]{x})’ = frac{1}{nsqrt[n]{x^{n-1}}} = frac{1}{n} x^{frac{1}{n} - 1} = frac{1}{n} x^{frac{1-n}{n}} ]

Hay viết gọn:

[ (sqrt[n]{x})’ = frac{1}{n cdot sqrt[n]{x^{n-1}}} ]

3.2. Các trường hợp thường gặp

Hàm số Đạo hàm Điều kiện ( sqrt[3]{x} ) ( frac{1}{3sqrt[3]{x^2}} ) ( x neq 0 ) ( sqrt[4]{x} ) ( frac{1}{4sqrt[4]{x^3}} ) x > 0 ( sqrt[5]{x} ) ( frac{1}{5sqrt[5]{x^4}} ) ( x neq 0 ) ( sqrt[n]{x} ) ( frac{1}{nsqrt[n]{x^{n-1}}} ) Phụ thuộc n

3.3. Đạo hàm căn bậc n của hàm hợp

Công thức:

[ (sqrt[n]{u})’ = frac{u’}{nsqrt[n]{u^{n-1}}} ]

Ví dụ:

3.4. Đạo hàm ( sqrt[n]{x^m} )

Công thức:

[ (sqrt[n]{x^m})’ = (x^{frac{m}{n}})’ = frac{m}{n} x^{frac{m}{n} - 1} = frac{m}{n} x^{frac{m-n}{n}} ]

Hay:

[ (sqrt[n]{x^m})’ = frac{m}{nsqrt[n]{x^{n-m}}} ]

Ví dụ:

4. Đạo hàm căn của hàm hợp

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp để tính đạo hàm căn phức tạp hơn:

4.1. Quy tắc đạo hàm hàm hợp

Quy tắc: Nếu y = f(u) và u = g(x), thì:

[ y’_x = y’_u cdot u’_x = f'(u) cdot g'(x) ]

4.2. Áp dụng cho hàm căn

Với căn bậc 2:

[ (sqrt{u(x)})’ = frac{1}{2sqrt{u}} cdot u’ = frac{u’}{2sqrt{u}} ]

Với căn bậc n:

[ (sqrt[n]{u(x)})’ = frac{1}{nsqrt[n]{u^{n-1}}} cdot u’ = frac{u’}{nsqrt[n]{u^{n-1}}} ]

4.3. Các dạng hàm hợp thường gặp

Hàm số Đạo hàm căn ( sqrt{ax + b} ) ( frac{a}{2sqrt{ax + b}} ) ( sqrt{x^2 pm a^2} ) ( frac{x}{sqrt{x^2 pm a^2}} ) ( sqrt{a^2 - x^2} ) ( frac{-x}{sqrt{a^2 - x^2}} ) ( sqrt{sin x} ) ( frac{cos x}{2sqrt{sin x}} ) ( sqrt{e^x} ) ( frac{e^x}{2sqrt{e^x}} = frac{sqrt{e^x}}{2} ) ( sqrt{ln x} ) ( frac{1}{2xsqrt{ln x}} )

4.4. Ví dụ chi tiết

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của ( y = sqrt{x^2 - 4x + 5} )

Giải:

[ y’ = frac{(x^2 - 4x + 5)’}{2sqrt{x^2 - 4x + 5}} = frac{2x - 4}{2sqrt{x^2 - 4x + 5}} = frac{x - 2}{sqrt{x^2 - 4x + 5}} ]

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của ( y = sqrt[3]{x^2 - 2x} )

Giải:

[ y’ = frac{(x^2 - 2x)’}{3sqrt[3]{(x^2 - 2x)^2}} = frac{2x - 2}{3sqrt[3]{(x^2 - 2x)^2}} = frac{2(x - 1)}{3sqrt[3]{(x^2 - 2x)^2}} ]

5. Bảng tổng hợp công thức đạo hàm căn

Dưới đây là bảng tổng hợp đầy đủ các công thức đạo hàm căn:

5.1. Công thức đạo hàm căn cơ bản

STT Hàm số f(x) Đạo hàm f'(x) Điều kiện 1 ( sqrt{x} ) ( frac{1}{2sqrt{x}} ) x > 0 2 ( sqrt[3]{x} ) ( frac{1}{3sqrt[3]{x^2}} ) ( x neq 0 ) 3 ( sqrt[n]{x} ) ( frac{1}{nsqrt[n]{x^{n-1}}} ) Phụ thuộc n chẵn/lẻ 4 ( sqrt[n]{x^m} ) ( frac{m}{nsqrt[n]{x^{n-m}}} ) Phụ thuộc n, m 5 ( frac{1}{sqrt{x}} = x^{-frac{1}{2}} ) ( -frac{1}{2sqrt{x^3}} = -frac{1}{2xsqrt{x}} ) x > 0

5.2. Công thức đạo hàm căn của hàm hợp

STT Hàm số Đạo hàm 1 ( sqrt{u} ) ( frac{u’}{2sqrt{u}} ) 2 ( sqrt[3]{u} ) ( frac{u’}{3sqrt[3]{u^2}} ) 3 ( sqrt[n]{u} ) ( frac{u’}{nsqrt[n]{u^{n-1}}} ) 4 ( sqrt[n]{u^m} ) ( frac{m cdot u’}{nsqrt[n]{u^{n-m}}} ) 5 ( frac{1}{sqrt{u}} ) ( -frac{u’}{2sqrt{u^3}} )

5.3. Công thức dưới dạng lũy thừa

Dạng căn Dạng lũy thừa Đạo hàm ( sqrt{x} ) ( x^{frac{1}{2}} ) ( frac{1}{2}x^{-frac{1}{2}} ) ( sqrt[3]{x} ) ( x^{frac{1}{3}} ) ( frac{1}{3}x^{-frac{2}{3}} ) ( sqrt[n]{x} ) ( x^{frac{1}{n}} ) ( frac{1}{n}x^{frac{1-n}{n}} ) ( sqrt{u} ) ( u^{frac{1}{2}} ) ( frac{1}{2}u^{-frac{1}{2}} cdot u’ )

6. Các dạng bài tập thường gặp

Khi làm bài tập về đạo hàm căn, bạn sẽ gặp các dạng sau:

6.1. Dạng 1: Tính đạo hàm trực tiếp

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức

Ví dụ: Tính ( (sqrt{3x + 1})’ )

[ (sqrt{3x + 1})’ = frac{3}{2sqrt{3x + 1}} ]

6.2. Dạng 2: Đạo hàm tích/thương chứa căn

Phương pháp: Kết hợp công thức đạo hàm tích/thương với đạo hàm căn

Ví dụ: Tính ( (xsqrt{x + 1})’ )

[ = x’ cdot sqrt{x + 1} + x cdot (sqrt{x + 1})’ ]

[ = sqrt{x + 1} + x cdot frac{1}{2sqrt{x + 1}} = sqrt{x + 1} + frac{x}{2sqrt{x + 1}} ]

[ = frac{2(x + 1) + x}{2sqrt{x + 1}} = frac{3x + 2}{2sqrt{x + 1}} ]

6.3. Dạng 3: Đạo hàm căn lồng nhau

Phương pháp: Áp dụng nhiều lần quy tắc hàm hợp

Ví dụ: Tính ( left(sqrt{sqrt{x} + 1}right)’ )

[ = frac{(sqrt{x} + 1)’}{2sqrt{sqrt{x} + 1}} = frac{frac{1}{2sqrt{x}}}{2sqrt{sqrt{x} + 1}} = frac{1}{4sqrt{x}sqrt{sqrt{x} + 1}} ]

6.4. Dạng 4: Tìm đạo hàm cấp cao

Phương pháp: Tính đạo hàm nhiều lần

Ví dụ: Tìm ( y” ) biết ( y = sqrt{x} )

[ y’ = frac{1}{2sqrt{x}} = frac{1}{2}x^{-frac{1}{2}} ]

[ y” = frac{1}{2} cdot left(-frac{1}{2}right) x^{-frac{3}{2}} = -frac{1}{4}x^{-frac{3}{2}} = -frac{1}{4sqrt{x^3}} ]

6.5. Dạng 5: Khảo sát hàm số chứa căn

Phương pháp: Tính đạo hàm, xét dấu, tìm cực trị

6.6. Bảng tổng hợp các dạng

Dạng Công thức cần dùng Đạo hàm trực tiếp ( (sqrt{u})’ = frac{u’}{2sqrt{u}} ) Đạo hàm tích ( (uv)’ = u’v + uv’ ) Đạo hàm thương ( left(frac{u}{v}right)’ = frac{u’v - uv’}{v^2} ) Căn lồng nhau Áp dụng hàm hợp nhiều lần Đạo hàm cấp cao Tính lần lượt ( y’, y”, … )

7. Các sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm căn

Khi tính đạo hàm căn, học sinh thường mắc các lỗi sau:

7.1. Quên chia cho 2 (hoặc n)

Sai Đúng ( (sqrt{x})’ = frac{1}{sqrt{x}} ) ( (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} ) ( (sqrt[3]{x})’ = frac{1}{sqrt[3]{x^2}} ) ( (sqrt[3]{x})’ = frac{1}{3sqrt[3]{x^2}} )

7.2. Quên đạo hàm hàm bên trong (hàm hợp)

Sai Đúng ( (sqrt{2x + 1})’ = frac{1}{2sqrt{2x + 1}} ) ( (sqrt{2x + 1})’ = frac{2}{2sqrt{2x + 1}} = frac{1}{sqrt{2x + 1}} ) ( (sqrt{x^2})’ = frac{1}{2sqrt{x^2}} ) ( (sqrt{x^2})’ = frac{2x}{2sqrt{x^2}} = frac{x}{|x|} )

7.3. Nhầm lẫn công thức

Sai Đúng ( (sqrt{u})’ = frac{1}{2sqrt{u’}} ) ( (sqrt{u})’ = frac{u’}{2sqrt{u}} ) ( (sqrt{u + v})’ = sqrt{u’} + sqrt{v’} ) ( (sqrt{u + v})’ = frac{u’ + v’}{2sqrt{u + v}} )

7.4. Quên điều kiện xác định

Lưu ý: Đạo hàm của ( sqrt{u} ) chỉ tồn tại khi u > 0 (không bao gồm u = 0).

7.5. Nhầm lẫn dấu

Hàm số Đạo hàm đúng ( frac{1}{sqrt{x}} ) ( -frac{1}{2sqrt{x^3}} ) (có dấu trừ) ( sqrt{a^2 - x^2} ) ( frac{-x}{sqrt{a^2 - x^2}} ) (có dấu trừ)

8. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững đạo hàm căn, hãy cùng làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Đạo hàm căn bậc hai cơ bản

Đề bài: Tính đạo hàm các hàm số:

a) ( y = sqrt{5x - 2} )

b) ( y = sqrt{x^2 + 4} )

c) ( y = sqrt{1 - x^2} )

Lời giải:

a) ( y = sqrt{5x - 2} )

[ y’ = frac{(5x - 2)’}{2sqrt{5x - 2}} = frac{5}{2sqrt{5x - 2}} ]

b) ( y = sqrt{x^2 + 4} )

[ y’ = frac{(x^2 + 4)’}{2sqrt{x^2 + 4}} = frac{2x}{2sqrt{x^2 + 4}} = frac{x}{sqrt{x^2 + 4}} ]

c) ( y = sqrt{1 - x^2} )

[ y’ = frac{(1 - x^2)’}{2sqrt{1 - x^2}} = frac{-2x}{2sqrt{1 - x^2}} = frac{-x}{sqrt{1 - x^2}} ]

Bài tập 2: Đạo hàm căn bậc ba

Đề bài: Tính đạo hàm:

a) ( y = sqrt[3]{x} )

b) ( y = sqrt[3]{2x + 5} )

c) ( y = sqrt[3]{x^2 - 1} )

Lời giải:

a) ( y = sqrt[3]{x} = x^{frac{1}{3}} )

[ y’ = frac{1}{3}x^{-frac{2}{3}} = frac{1}{3sqrt[3]{x^2}} ]

b) ( y = sqrt[3]{2x + 5} )

[ y’ = frac{(2x + 5)’}{3sqrt[3]{(2x + 5)^2}} = frac{2}{3sqrt[3]{(2x + 5)^2}} ]

c) ( y = sqrt[3]{x^2 - 1} )

[ y’ = frac{(x^2 - 1)’}{3sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}} = frac{2x}{3sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}} ]

Bài tập 3: Đạo hàm tích chứa căn

Đề bài: Tính đạo hàm: ( y = x^2sqrt{x + 1} )

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm tích: ( (uv)’ = u’v + uv’ )

Với ( u = x^2 ), ( v = sqrt{x + 1} )

[ u’ = 2x, quad v’ = frac{1}{2sqrt{x + 1}} ]

[ y’ = 2x cdot sqrt{x + 1} + x^2 cdot frac{1}{2sqrt{x + 1}} ]

[ = frac{2x(x + 1) + frac{x^2}{2}}{sqrt{x + 1}} cdot frac{1}{sqrt{x+1}} cdot sqrt{x+1} ]

[ = frac{4x(x + 1) + x^2}{2sqrt{x + 1}} = frac{4x^2 + 4x + x^2}{2sqrt{x + 1}} = frac{5x^2 + 4x}{2sqrt{x + 1}} ]

Kết quả: ( y’ = frac{x(5x + 4)}{2sqrt{x + 1}} )

Bài tập 4: Đạo hàm thương chứa căn

Đề bài: Tính đạo hàm: ( y = frac{x}{sqrt{x^2 + 1}} )

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm thương:

[ y’ = frac{x’ cdot sqrt{x^2 + 1} - x cdot (sqrt{x^2 + 1})’}{(sqrt{x^2 + 1})^2} ]

[ = frac{sqrt{x^2 + 1} - x cdot frac{x}{sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} ]

[ = frac{sqrt{x^2 + 1} - frac{x^2}{sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} ]

[ = frac{frac{x^2 + 1 - x^2}{sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = frac{1}{sqrt{x^2 + 1} cdot (x^2 + 1)} ]

Kết quả: ( y’ = frac{1}{(x^2 + 1)sqrt{x^2 + 1}} = frac{1}{sqrt{(x^2 + 1)^3}} )

Bài tập 5: Đạo hàm căn lồng nhau

Đề bài: Tính đạo hàm: ( y = sqrt{x + sqrt{x}} )

Lời giải:

Đặt ( u = x + sqrt{x} ), ta có ( y = sqrt{u} )

[ u’ = 1 + frac{1}{2sqrt{x}} = frac{2sqrt{x} + 1}{2sqrt{x}} ]

[ y’ = frac{u’}{2sqrt{u}} = frac{frac{2sqrt{x} + 1}{2sqrt{x}}}{2sqrt{x + sqrt{x}}} ]

Kết quả: ( y’ = frac{2sqrt{x} + 1}{4sqrt{x}sqrt{x + sqrt{x}}} )

Bài tập 6: Đạo hàm ( frac{1}{sqrt{u}} )

Đề bài: Tính đạo hàm: ( y = frac{1}{sqrt{x^2 - 4}} )

Lời giải:

Viết lại: ( y = (x^2 - 4)^{-frac{1}{2}} )

[ y’ = -frac{1}{2}(x^2 - 4)^{-frac{3}{2}} cdot (x^2 - 4)’ ]

[ = -frac{1}{2}(x^2 - 4)^{-frac{3}{2}} cdot 2x = frac{-x}{(x^2 - 4)^{frac{3}{2}}} ]

Kết quả: ( y’ = frac{-x}{sqrt{(x^2 - 4)^3}} )

Bài tập 7: Tính đạo hàm cấp hai

Đề bài: Cho ( y = sqrt{2x + 1} ). Tính y”.

Lời giải:

Tính y’:

[ y’ = frac{2}{2sqrt{2x + 1}} = frac{1}{sqrt{2x + 1}} = (2x + 1)^{-frac{1}{2}} ]

Tính y”:

[ y” = -frac{1}{2}(2x + 1)^{-frac{3}{2}} cdot 2 = -(2x + 1)^{-frac{3}{2}} ]

Kết quả: ( y” = frac{-1}{sqrt{(2x + 1)^3}} )

Bài tập 8: Đạo hàm căn kết hợp với hàm lượng giác

Đề bài: Tính đạo hàm: ( y = sqrt{sin x} )

Lời giải:

[ y’ = frac{(sin x)’}{2sqrt{sin x}} = frac{cos x}{2sqrt{sin x}} ]

Điều kiện: ( sin x > 0 )

Bài tập 9: Đạo hàm căn kết hợp với hàm mũ

Đề bài: Tính đạo hàm: ( y = sqrt{e^{2x} + 1} )

Lời giải:

[ y’ = frac{(e^{2x} + 1)’}{2sqrt{e^{2x} + 1}} = frac{2e^{2x}}{2sqrt{e^{2x} + 1}} = frac{e^{2x}}{sqrt{e^{2x} + 1}} ]

Bài tập 10: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Tìm đạo hàm của hàm số: ( y = sqrt{x} + frac{1}{sqrt{x}} + sqrt[3]{x^2} )

Lời giải:

Viết lại: ( y = x^{frac{1}{2}} + x^{-frac{1}{2}} + x^{frac{2}{3}} )

[ y’ = frac{1}{2}x^{-frac{1}{2}} + left(-frac{1}{2}right)x^{-frac{3}{2}} + frac{2}{3}x^{-frac{1}{3}} ]

[ = frac{1}{2sqrt{x}} - frac{1}{2sqrt{x^3}} + frac{2}{3sqrt[3]{x}} ]

Kết quả: ( y’ = frac{1}{2sqrt{x}} - frac{1}{2xsqrt{x}} + frac{2}{3sqrt[3]{x}} )

9. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ về đạo hàm căn cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững các công thức đạo hàm căn và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!

Link nội dung: https://ohanapreschool.edu.vn/dao-ham-1-can-u-a50472.html