Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH (H thuộc BC)a) Chứng minh: H là trung điểm BC và hai góc BAH và HAC bằng nhau...

a) Chứng minh: HH là trung điểm của BCBC và ∠BAH=∠HAC.∠BAH=∠HAC.

Xét ΔABH&ΔACHΔABH&ΔACH ta có :

AB=AC∠B=∠CAB=AC∠B=∠C (do ΔABCΔABC cân tại A)

∠AHB=∠AHC=900(GT)∠AHB=∠AHC=900(GT)

⇒ΔABH=ΔACH⇒ΔABH=ΔACH (cạnh huyền- góc nhọn)

⇒{HB=HB∠BAH=∠HAC.⇒{HB=HB∠BAH=∠HAC. (cạnh và góc tương ứng)

Hay HH là trung điểm của BCBC và ∠BAH=∠HAC.∠BAH=∠HAC.

b)

Xét ΔAMH&ΔANHΔAMH&ΔANH ta có:

AHchungAHchung

∠MAH=∠NAC.∠MAH=∠NAC.(cmt)

∠AMH=∠ANH=900(GT)∠AMH=∠ANH=900(GT)

⇒ΔAMH=ΔANH⇒ΔAMH=ΔANH (cạnh huyền_góc nhọn)

⇒AM=AN⇒AM=AN (cạnh tương ứng)

Vậy ΔAMNΔAMN có AM=AN(cmt)⇒ΔAMNAM=AN(cmt)⇒ΔAMN là tam giác cân tại AA .

c) Ta có: HH là trung điểm của đoạn thẳng NPNP

⇒HP=HN⇒HP=HN (1)

Mà ΔAMH=ΔANH(cmt)ΔAMH=ΔANH(cmt)⇒HM=HN⇒HM=HN (2) (cạnh tương tứng)

Từ (1) và (2) suy ra: HP=HM=HNHP=HM=HN

Trong ΔMNPΔMNP có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác đó là tam giác vuông.

MN⊥MPMN⊥MP

Gọi O là giao điểm của AH với MN.

Vì ΔAMNΔAMN là tam giác cân nên AO⊥MNhayAH⊥MN(3)AO⊥MNhayAH⊥MN(3)

Lại có : AH⊥BC(4)AH⊥BC(4)

Từ (3) và (4) suy ra : MN//BCMN//BC

Mà MN⊥MP⇒BC⊥MP⇒HK⊥MPMN⊥MP⇒BC⊥MP⇒HK⊥MP

Xét tam giác ΔHMPΔHMP có HM=HP(cmt)⇒ΔHMPHM=HP(cmt)⇒ΔHMP cân tại H.

Có HK⊥MP(cmt)⇒HKHK⊥MP(cmt)⇒HK là đường cao của ΔHMPΔHMP

Hay BCBC chính là đường trung trực của MP (đpcm).

d) Trong tam giác ΔMNPΔMNP có : MH;NKMH;NK là hai đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ đỉnh M và N.

Mà NKNK cắt MHMH tại điểm DD (gt)

⇒D⇒D là trọng tâm của tam giác MNPMNP

Lại có : O là trung điểm của MN

do đó : POPO là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh P⇒PDP⇒PD đi qua O. (5)

Mặt khác : O là giao điểm của AH với MN. (6)

Từ (5) và (6) suy ra : ba đường thẳng AH;MN;DPAH;MN;DP cùng đi qua 1 điểm đó là điểm O. (đpcm)