Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ (-10; 10) để hàm số y = f(x) = (left|3x^4-4x^3-6mx^2+12mx...

(gleft(xright)=3x^4-4x^3-6mx^2+12mx)

(g'left(xright)=12x^3-12x^2-12mx+12m=0)

(Leftrightarrow12x^2left(x-1right)-12mleft(x-1right)=0)

(Leftrightarrow12left(x^2-mright)left(x-1right)=0Rightarrowleft[{}begin{matrix}x=1x^2=mend{matrix}right.)

Xét (gleft(xright)=0Leftrightarrow xleft(3x^3-4x^2-6mx+12mright)=0)

- Nếu (m=0Rightarrow g'left(xright)=0) có 1 nghiệm bội lẻ, (gleft(xright)=0) có 2 nghiệm bội lẻ (Rightarrow fleft(xright)) có 3 cực trị (thỏa mãn)

- Nếu (m=dfrac{1}{6}Rightarrow g'left(xright)=0) có 3 nghiệm bội lẻ, (gleft(xright)=0) có 3 nghiệm pb nhưng chỉ có 1 nghiệm (x=1) trùng với (g'left(xright)=0) nên hàm có 5 cực trị (ktm)

- Nếu (m=1Rightarrow g'left(xright)=0) có 1 nghiệm bội lẻ, (gleft(xright)=0) có 2 nghiệm bội lẻ (thỏa mãn)

- Nếu (m< 0Rightarrow g'left(xright)=0) có 1 nghiệm bội lẻ (x=1)

Khi đó hàm có 3 cực trị khi (gleft(xright)=0) có 2 nghiệm bội lẻ (hiển nhiên từ các TH này thì (gleft(xright)=0) ko thể có nghiệm (x=1) do đã loại trừ từ TH (m=dfrac{1}{6}))

(Leftrightarrow3x^3-4x^2-6mx+12m=0) có đúng 1 nghiệm

(Leftrightarrow3x^3-4x^2=6mleft(x-2right)Leftrightarrow m=dfrac{3x^3-4x^2}{6left(x-2right)}) (do (x=2) ko là nghiệm)

Khảo sat (hleft(xright)=dfrac{3x^3-4x^2}{6left(x-2right)}) ta được (y=m) cắt (y=hleft(xright)) tại đúng 1 điểm khi: (left[{}begin{matrix}m< 0dfrac{1}{6}< m< dfrac{64}{9}end{matrix}right.) (Leftrightarrow m< 0)

- Nếu (m>0;mneleft{dfrac{1}{6};1right}) (Rightarrow g'left(xright)=0) có 3 nghiệm pb

Mà (gleft(xright)=0) luôn có ít nhất 1 nghiệm bội lẻ (x=0)

(Rightarrow) Hàm có 3 cực trị khi và chỉ khi:

TH1: (3x^3-4x^2-6mx+12m=0) vô nghiệm (vô lý do hàm bậc 3 luôn có nghiệm)

Th2: (3x^3-4x^2-6mx+12m=0) (1) có 3 nghiệm đều trùng với nghiệm của (g'left(xright)=0) (vô lý do (mnedfrac{1}{6}) nên nếu (1) có nghiệm thì nó luôn có nghiệm khác 1)

Kết luận: (left[{}begin{matrix}m=1mle0end{matrix}right.)