Sao độ lớn tích có hướng của a và b lại bằng diện tích hình bình hành tạo bởi a và b?

Giờ trước khi cậu nói, "Ôi độ lớn của tích có hướng là |a||b|sin(pheta), cũng chính là diện tích hình bình hành tạo bởi a và b", tại sao |a x b|=|a||b|sin(pheta)?

Giờ trước khi cậu đi vào toàn bộ chứng minh mà cậu lấy |a x b|2 dẫn đến ba số hạng bình phương (từ ba thành phần của a x b) và thực hiện một số thao tác đại số khéo léo để có được:

|a|2 |b|2 sin2 (theta)

rồi lấy căn bậc hai và thêm Q.E.D, tớ muốn biết tại sao lại như vậy.

Cậu có thể suy ra công thức cho tích có hướng bằng cách hỏi xem vectơ nào vuông góc với a và b. Sau đó cậu có thể viết như sau:

Dot(a,c)==0 và Dot(b,c)==0

từ đây (bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính) cậu có thể tìm thấy rằng c phải là <a2b3-a3b3, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1>.

Không có chỗ nào trong quá trình suy luận này chúng ta quan tâm đến độ lớn của c là gì, vậy tại sao độ lớn của c lại bằng diện tích của a x b? Tớ khó tin đây chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên.

Khi cậu giải một hệ phương trình tuyến tính, nó có thể được giải bằng định thức (đặc biệt là nghịch đảo của định thức), và tớ biết định thức liên quan đến diện tích của hình bình hành giữa a và b. Có phải vì vậy không?

Edit: Cảm ơn tất cả những người đã dành thời gian đọc bài viết của tớ, và TẤT CẢ các câu trả lời của các cậu đều hữu ích. Tuy nhiên tớ vẫn chưa nhận được câu trả lời mình muốn, vì vậy hãy để tớ cố gắng cụ thể hơn.

Quên tích có hướng đi một chút, và hãy làm như thế này: Tớ muốn tìm một vectơ c có độ lớn bất kỳ vuông góc với các vectơ a và b.

Tất cả những gì tớ cần làm là định nghĩa c vuông góc với cả hai về mặt đại số. Điều này rất dễ dàng với tích vô hướng.

a•c=0 b•c=0

1.)Giờ là một số đại số:

(a1c1+a2c2+a3c3=0)*b3 (b1c1+b2c2+b3c3=0)*a3

b3a1c1+b3a2c2+b3a3c3=0 a3b1c1+a3b2c2+a3b3c3=0

2.)Trừ cả hai phương trình

(b3a1-a3b1)c1 + (b3a2-b2a3)c2=0

3.) Giải cho c1 và c2 Nếu nó là pc1+qc2=0 Một giải pháp rõ ràng là c1=q và c2= -p

Thay q và p và cậu sẽ có

c1=(b3a2 -b2a3) và c2=(a3b1-b2a1)

4.) Thay c1 và c2 xác định duy nhất c3 là

c3=(a1b2 - a2b1)

Do đó c=(b3a2-b2a3, a3b1-b2a1, a1b2 - a2b1)

Được rồi, bây giờ chúng ta có c, chúng ta có thể chứng minh rằng

|c|=|a||b|sin(theta), tức là độ lớn của c bằng diện tích của hình bình hành tạo bởi a và b.

Tớ sẽ không trình bày ở đây vì tớ mệt mỏi khi phải gõ toán học trên điện thoại của mình, nhưng phần quan trọng là nó không cần bất kỳ giả định nào khác.

Hầu hết mọi người trong các bình luận đều nói rằng đó chỉ là cách định nghĩa tích có hướng. Vâng, theo quá trình suy luận ở trên, chúng ta đã tìm thấy rằng |c|=|a||b|sin(theta) CHỈ bằng cách định nghĩa c vuông góc với a và b.

Tại sao, khi cậu chỉ định nghĩa một vectơ vuông góc với hai vectơ khác, độ lớn của nó lại trở thành diện tích của hai vectơ kia.