Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên.

Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên lớp 9 (cách giải + bài tập)

(199k) Xem Khóa học Toán 9 KNTTXem Khóa học Toán 9 CDXem Khóa học Toán 9 CTST

1. Cách giải bài tập

• Cho biểu thức A=acx+d hoặc A=acx+d . Tìm x ∈ ℤ để A ∈ ℤ.

Phương pháp:

- Lập luận: A ∈ ℤ thì mẫu thức là Ư(a).

- Liệt kê Ư(a).

- Mẫu thức bằng Ư(a) tìm ra x.

Chú ý: Giá trị x ∈ ℤ tìm được phải thỏa mãn điều kiện của biểu thức rút gọn mới nhận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho biểu thức A=2x−2+32x+1−5x−72x−3x−2:2x+35x−10x

(x > 0, x ≠ 4).

a) Rút gọn biểu thức.

b) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

A=2x−2+32x+1−5x−72x−3x−2:2x+35x−10x

A=22x+1x−22x+1+3x−2x−22x+1−5x−7x−22x+1.5x−10x2x+3

A=4x+2+3x−6−5x+7x−22x+1.5xx−22x+3

A=2x+3x−22x+1.5xx−22x+3

A=2x+3x−22x+1.5xx−22x+3

A=5x2x+1

b) Ta có: x > 0 với mọi x > 0, x ≠ 4 nên A=5x2x+1 > 0 với x > 0, x ≠ 4.

Ta có: A=5x2x+1=52−522x+1<52 với x > 0, x ≠ 4.

Do đó, 0 < A < 52.

Để A nhận giá trị nguyên thì A = 1 hoặc A = 2.

Với A = 1, suy ra 5x2x+1=1 hay 5x=2x+1 suy ra x=13 khi x = 19 (thỏa mãn).

Với A = 2, suy ra 5x2x+1=2 hay 5x=4x+2 suy ra x=2 khi x = 4 (loại).

Vậy với x = 19 thì A nhận giá trị nguyên.

Ví dụ 2. Cho biểu thức A=x+4x+2 và B=xx+4+4x−4:x+16x+2

(x ≥ 0, x ≠ 16). Hãy tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M = B(A - 1) là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0, x ≠ 16, ta có:

B=xx+4+4x−4:x+16x+2

B=xx−4x+4x−4+4x+4x+4x−4.x+2x+16

B=x−4x+4x+16x+4x−4.x+2x+16

B=x+16x+4x−4.x+2x+16=x+2x−16

Ta có: M = B(A - 1)

= x+2x−16.x+4x+2−1

= x+2x−16.x+4−x−2x+2

= x+2x−16.2x+2=2x−16

Để M = B(A - 1) nguyên, x nguyên thì x - 16 là ước của 2.

Mà Ư(2) = {−1; 1; 2; −2}.

• Với x - 16 = −1 thì x = 15 (thỏa mãn).

• Với x - 1P=x2x−3=12−3x6 = 1 thì x = 17 (thỏa mãn).

• Với x - 16 = −2 thì x = 14 (thỏa mãn).

• Với x - 16 = 2 thì x = 18 (thỏa mãn).

Kết hợp điều kiện để B(A - 1) nguyên thì x ∈ {14; 15; 17; 18}.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho biểu thức A=xx−2x+3x và B=2x−2 với x > 0, x ≠ 4 và

x ≠ 94. Tính giá trị nguyên của x để P = BA nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, x ≠ , ta có:

A=xx−2x+3x

A=xx−2x+3x−2xx−2=4x−6xx−2

Có P = BA =2x−2:4x−6xx−2=2x−2.xx−24x−6=x2x−3

Ta có: P=x2x−3=12−3x (vì x > 0 nên x>0).

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 12−3x nguyên

hay 2−3x ∈ Ư(1) = {1; −1}.

Khi đó P = 1 hoặc P = −1.

Với P = 1 hay 2−3x = 1 khi x = 3 suy ra x = 9 (thỏa mãn).

Với P = −1 hay 2−3x=−1 khi x=1 suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 9} thì P nhận giá trị nguyên.

Bài 2. Cho biểu thức A=x−7x và B=1x+2+x2−x+2x−x+2x−4

với x > 0, x ≠ 4. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

B=1x+2+x2−x+2x−x+2x−4

B=x−2x+2x−2−xx+2x+2x−2+2x−x+2x+2x−2

B=x−2−x−2x+2x−x+2x+2x−2

B=x−2xx+2x−2=xx−2x+2x−2=xx+2

Vậy B = xx+2 với x > 0, x ≠ 4.

Ta có: P = A.B = x−7x.xx+2=x−7x+2

Xét P = 0 khi x−7x+2=0 suy ra x - 7 = 0 (thỏa mãn điều kiện).

Xét P ≠ 0.

TH1: x ∈ ℤ; x ≠ 7; x là số vô tỉ thì P ∉ ℤ (loại).

TH2: x ∈ ℤ; x ∈ ℤ.

Ta có: P=x−4−3x+2=x−4x+2−3x+2=x−2−3x+2

Để P ∈ ℤ thì x−2−3x+2 ∈ ℤ suy ra 3x+2 ∈ ℤ.

Do đó, x+2∈ Ư(3).

Mà Ư(3) = {1; 3; −1; −3}.

Do x+2 ≥ 2 nên x+2 = 3 suy ra x=1 suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 7} thì P có giá trị nguyên.

Bài 3. Cho biểu thức A=3x−21x−9+2x−3 với x ≥ 0; x ≠ 9. Tìm tất cả các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 9, ta có:

A=3x−21x−9+2x−3

A=3x−21x−3x+3+2x+3x−3x+3

A=3x−21+2x+6x−3x+3

A=5x−15x−3x+3=5x−3x−3x+3=5x+3

Để A nhận giá trị nguyên thì 5x+3 nguyên.

Suy ra x+3 là Ư(5).

Mà Ư(5) = {1; 5; −1; −5}.

Nhận thấy x+3 ≥ 3 với vọi x ≥ 0; x ≠ 9.

Do đó, x+3 = 5, suy ra x = 2 do đó, x = 4 (thỏa mãn).

Vậy x = 4 thì A nhận giá trị nguyên.

Bài 4. Cho biểu thức M=2x−9x−5x+6−x+3x−2−2x+13−x với x ≥ 0; x ≠ 4;

x ≠ 9.

a) Rút gọn A.

b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, ta có:

M=2x−9x−5x+6−x+3x−2−2x+13−x

M=2x−9x−2x−3−x+3x−3x−2x−3+2x+1x−2x−2x−3

M=2x−9x−2x−3−x−9x−2x−3+2x−3x−2x−2x−3

M=2x−9−x+9+2x−3x−2x−2x−3

M=x−x−2x−2x−3

M=x−2x+1x−2x−3=x+1x−3

Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, M = x+1x−3=1+4x−3.

Để M nguyên thì 4x−3 nguyên hay x−3 là Ư(4).

Mà Ư(4) = {1; 4; −1; −4; 2; −2}.

• Với x−3 = 1 suy ra x = 16 (thỏa mãn).

• Với x−3 = −1 suy ra x = 4 (loại).

• Với x−3 = 2 suy ra x = 25 (thỏa mãn).

• Với x−3 = −2 suy ra x = 1 (thỏa mãn).

• Với x−3 = 4 suy ra x = 49 (thỏa mãn).

• Với x−3 = −4 suy ra = −1 (loại).

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {1; 25; 16; 49}.

Bài 5. Cho biểu thức A=x+15x−9−xx−3x+2x+5x+3 với x > 0, x ≠ 9. Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 9, ta có:

A=x+15x−9−xx−3x+2x+5x+3

A=x+15xxx+3x−3−xx+3xx−3x+3+2x+5xx−3xx−3x+3

A=x+15x−xx−3x+2xx+5x−6x−15xxx+3x−3

A=xx−3xxx−3x+3=xx−3xx−3x+3=xx+3

Với x > 0, x ≠ 9 có A=xx+3 > 0.

Lại có: A = 1−3x+3<1.

Do đó 0 < A < 1.

Vậy không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Bài 6. Cho biểu thức A=9−3xx−4 và B=xx+1+1−xx−2−x+4x−x−2

với x ≥ 0 và x ≠ 4.

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tìm x ∈ ℝ để biểu thức P = A : B nhận giá trị là một số nguyên âm.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0 và x ≠ 4, ta có:

B=xx+1+1−xx−2−x+4x−x−2

B=xx−2x+1x−2+x+11−xx+1x−2−x+4x+1x−2

B=x−2x+1−x−x−4x+1x−2

B=−3x−3x+1x−2=−3x+1x+1x−2=−3x−2

Ta có: P = A : B = 9−3xx−4:−3x−2=33−xx−2x+2.x−2−3=x−3x+2

Có P=x−3x+2=1−5x+2.

Do x ≥ 0 suy ra 0 < 5x+2 ≤ 52.

Để P nguyên thì 5x+2 nhận giá trị nguyên.

Do đó P = 1 hoặc P = 2.

Với P = 1 thì 5x+2=1 hay x+2 = 5 suy ra x = 9 .

Với P = 2 thì 5x+2=2 hay x+2=52 suy ra x = 14.

Thử lại:

Khi x = 9 thì P = 0 (loại).

Khi x = 14 thì P = −1 (thỏa mãn).

Vậy x = 14.

Bài 7. Cho biểu thức A=x−3x+1 và B=x−x−7x+x−6+x+2x+3+x−32−x

với x ≥ 0; x ≠ 4.

a) Rút gọn B.

b) Tìm giá trị nguyên của x để M = A.B nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

B=x−x−7x+x−6+x+2x+3+x−32−x

B=x−x−7x−2x+3+x+2x−2x−2x+3−x−3x+3x−2x+3

B=x−x−7+x−4−x+9x−2x+3

B=x−x−2x−2x+3=x−2x+1x−2x+3=x+1x+3

b) Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

M = A.B = x−3x+1.x+1x+3=x−3x+3 .

Hay M=x−3x+3=x−9+6x+3=x+3x−3+6x+3=x−3+6x+3.

Xét x = 3 thì M = 0 (thỏa mãn). Vậy x = 3 thỏa mãn.

Xét x ≠ 3, x ∈ ℤ nhưng x∉ℤ. Do đó M .

Xét x ∈ ℤ, x∈ℤ suy ra M ∈ ℤ:

Suy ra 6x+3 là số nguyên hay x+3 là Ư(6).

Mà Ư(6) = {1; 2; 3; 6; −1; −2; −3; −6}.

Nhận thấy x+3≥3 với mọi x ≥ 0; x ≠ 4.

Suy ra x+3=3 hoặc x+3=6 .

Do đó, x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 9 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {0; 3; 9} thì M nhận giá trị nguyên.

Bài 8. Cho biểu thức A=15x−19x+2x−3−3x−21−x−2x+3x+3 với x ≥ 0; x ≠ 1.

a) Rút gọn A.

b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 1, ta có:

A=15x−19x+2x−3−3x−21−x−2x+3x+3

A=15x−19x+3x−1+3x−2x+3x+3x−1−2x+3x−1x+3x−1

A=15x−19+3x+7x−6−2x−x+3x+3x−1

A=x+21x−22x+3x−1=x−1x+22x+3x−1=x+22x+3

b) Ta có: A=x+22x+3=1+19x+3 với x ≥ 0; x ≠ 1.

Để A nhận giá trị nguyên thì 19x+3 nguyên.

Suy ra x+3 là Ư(19).

Mà Ư(19) = {1; 19; −1; −19}.

Nhận thấy x+3≥3 với x ≥ 0; x ≠ 1.

Suy ra x+3 = 19 hay x = 256 (thỏa mãn).

Vậy x = 256 thì A nhận giá trị nguyên.

Bài 9. Cho hai biểu thức A=x+1x+2 và B=x−11x−x−2−xx+1+2x−1x−2 với x ≥ 0; x ≠ 4. Tìm x nguyên để A.B có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

B=x−11x−x−2−xx+1+2x−1x−2

B=x−11x−2x+1−xx−2x−2x+1+2x−1x+1x−2x+1

B=x−11−x+2x+2x+x−1x−2x+1

B=x+4x−12x−2x+1=x−2x+6x−2x+1=x+6x+1.

Ta có: P = A.B = x+1x+2.x+6x+1=x+6x+2=1+4x+2.

Để P nhận giá trị nguyên thì 4x+2 nguyên.

Suy ra x+2 là ước của 4.

Nhận thấy x+2≥2 với x ≥ 0; x ≠ 4 nên x+2 = 2 hoặc x+2 = 4.

Suy ra x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 4 (loại).

Vậy x = 0 thì P = A.B nhận giá trị nguyên.

Bài 10. Cho các biểu thức A=x+5x−3 và B=4x+3+2x−x−13x−9−xx−3 với x ≥ 0; x ≠ 9. Tính giá trị của x nguyên nhỏ nhất để P = BA có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 9, ta có:

B=4x+3+2x−x−13x−9−xx−3

B=4x−3x+3x−3+2x−x−13x+3x−3−xx+3x+3x−3

B=4x−12+2x−x−13−x−3xx+3x−3

B=x−25x+3x−3=x+5x−5x+3x−3

Ta có: P = BA = x+5x−5x+3x−3 : x+5x−3

= x+5x−5x+3x−3 . x−3x+5=x−5x+3 .

Ta có: P = x−5x+3=1−8x+3.

Để P đạt giá trị nguyên thì 8x+3 nhận giá trị nguyên.

Suy ra x+3 là Ư(8).

Nhận thấy x+3≥3 với x ≥ 0; x ≠ 9.

Do đó x+3∈{4;8},

Với x+3 = 4 thì x = 1 (thỏa mãn).

Với x+3 = 8 thì x = 25 (thỏa mãn).

Vậy giá trị x nguyên nhỏ nhất để P nhận giá trị nguyên là x = 1.

(199k) Xem Khóa học Toán 9 KNTTXem Khóa học Toán 9 CDXem Khóa học Toán 9 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai
• Một số bài toán thực tế liên quan đến biểu thức có chứa căn thức bậc hai
• Tìm căn bậc ba của một số
• So sánh hai căn bậc ba
• Tính giá trị biểu thức có chứa căn bậc ba tại giá trị cho trước của ẩn số

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án