Đề thi vào 10 môn Toán Thanh Hóa năm 2023

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

1. Quy đồng và rút gọn.

2. Giải phương trình P > 1.

Cách giải:

1. Rút gọn biểu thức P

Ta có (P = frac{{sqrt x }}{{sqrt x + 2}} + frac{{sqrt x + 1}}{{sqrt x - 2}} - frac{{2 + 5sqrt x }}{{x - 4}})

(begin{array}{l} = frac{{sqrt x left( {sqrt x - 2} right)}}{{left( {sqrt x - 2} right)left( {sqrt x + 2} right)}} + frac{{left( {sqrt x + 1} right)left( {sqrt x + 2} right)}}{{left( {sqrt x - 2} right)left( {sqrt x + 2} right)}} - frac{{2 + 5sqrt x }}{{left( {sqrt x - 2} right)left( {sqrt x + 2} right)}} = frac{{x - 2sqrt x + x + 3sqrt x + 2 - 2 - 5sqrt x }}{{left( {sqrt x - 2} right)left( {sqrt x + 2} right)}} = frac{{2x - 4sqrt x }}{{left( {sqrt x - 2} right)left( {sqrt x + 2} right)}} = frac{{2sqrt x left( {sqrt x - 2} right)}}{{left( {sqrt x - 2} right)left( {sqrt x + 2} right)}} = frac{{2sqrt x }}{{sqrt x + 2}}end{array})

Vậy (P = frac{{2sqrt x }}{{sqrt x + 2}}) với (x ge 0,x ne 4)

2. Tìm tất cả các giá trị của (x) để (P > 1).

Để (P > 1)

(frac{{2sqrt x }}{{sqrt x + 2}} > 1 Leftrightarrow 2sqrt x > sqrt x + 2) (do (sqrt x + 2) > 0)

(begin{array}{l} Leftrightarrow sqrt x > 2 Leftrightarrow x > 4end{array})

Đối chiếu với điều kiện (x ge 0,x ne 4), để P > 1 thì (x > 4)

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

1. (y = ax + b) có hệ số góc là a.

2. Sử dụng phương pháp thế hoặc trừ vế.

Cách giải:

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ((d)) có phương trình (y = ax + b). Tìm a, b để đường thẳng ((d)) có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm (M( - 1;2).)

Vì (d) có hệ số góc bằng 3 nên suy ra: (a = 3.)

Khi đó phương trình đường thẳng (d) có dạng (y = 3x + b)

Vì (d) đi qua điểm (M( - 1;2)) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng (d) ta được:

(2 = 3.left( { - 1} right) + b Leftrightarrow 2 = - 3 + b Leftrightarrow b = 5)

Vậy (a = 3;,,b = 5.)

2. Giải hệ phương trình (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 6}{x - y = - 2}end{array}} right.)

Ta có: (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 6}{x - y = - 2}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{4x = 4}{y = x + 2}end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}{y = 3}end{array}} right.} right.)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (left( {x;y} right) = left( {1;3} right)).

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

1. Bước 1: Tính giá trính của (Delta ) với (Delta ; = {{rm{b}}^2} - 4{rm{ac}})

Bước 2: Xét tập nghiệm của phương trình bằng việc sánh giá (Delta ) với 0

(Delta ; < 0 Rightarrow ) phương trình bậc 2 vô nghiệm

(Delta ; = 0 Rightarrow ) phương trình bậc 2 có nghiệm kép ({x_1} = {x_2} = ; - frac{b}{{2a}})

(Delta ; > 0 Rightarrow ) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta dùng công thức nghiệm sau: ({x_{1,2}} = frac{{ - b pm sqrt Delta {rm{ ;}}}}{{2a}}).

2. Sử dụng Vi et.

Cách giải:

1. Giải phương trình ({x^2} - 3x + 2 = 0).

Xét phương trình ({x^2} - 3x + 2 = 0) có (a + b + c = 0) nên ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt (left[ begin{array}{l}{x_1} = 1{x_2} = frac{c}{a} = 2end{array} right.)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt (left[ begin{array}{l}{x_1} = 1{x_2} = 2end{array} right.).

2. Cho phương trình ({x^2} - 2mx - {m^2} - 2 = 0) ( (m) là tham số). Tìm các giá trị của (m) để phương trình có hai nghiệm ({x_1},{x_2}) (với ({x_1} < {x_2}) ) thỏa mãn hệ thức ({x_2} - 2left| {{x_1}} right| - 3{x_1}{x_2} = 3{m^2} + 3m + 4).

Xét phương trình ({x^2} - 2mx - {m^2} - 2 = 0) có (Delta ' = {left( { - m} right)^2} - 1.left( { - {m^2} - 2} right) = {m^2} + {m^2} + 2 = 2{m^2} + 2 > 0) với mọi m.

Áp dụng định lí Vi - ét ta có: (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m{x_1}{x_2} = - {m^2} - 2end{array} right.) . (2)

Nhận thấy ({x_1}{x_2} = - {m^2} - 2 < 0) với mọi m nên phương trình có hai nghiệm trái dấu ({x_1} < 0 < {x_2}).

(begin{array}{l}{x_2} - 2left| {{x_1}} right| - 3{x_1}{x_2} = 3{m^2} + 3m + 4 Leftrightarrow {x_2} + 2{x_1} - 3{x_1}{x_2} = 3{m^2} + 3m + 4 Leftrightarrow 2{x_1} + {x_2} - 3left( { - {m^2} - 2} right) = 3{m^2} + 3m + 4 Leftrightarrow 2{x_1} + {x_2} + 3{m^2} + 6 = 3{m^2} + 3m + 4 Leftrightarrow 2{x_1} + {x_2} = 3m - 2end{array})

Ta có hệ phương trình (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m2{x_1} + {x_2} = 3m - 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x_1} = m - 2{x_2} = 2m - m + 2 = m + 2end{array} right.)

Thay vào ({x_1}{x_2} = - {m^2} - 2) ta được phương trình

(begin{array}{l}left( {m - 2} right)left( {m + 2} right) = - {m^2} - 2 Leftrightarrow {m^2} - 4 = - {m^2} - 2 Leftrightarrow 2{m^2} = 2end{array})

(begin{array}{l} Leftrightarrow {m^2} = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = 1m = - 1end{array} right.end{array})

Vậy (left[ begin{array}{l}m = 1m = - 1end{array} right.) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4 (VD):

Cách giải:

1. Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.

Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) (gt) ( Rightarrow angle MAO = angle MBO = {90^0}).

( Rightarrow angle MAO + angle MBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}).

Mà A, B là hai đỉnh đối diện của tứ giác MAOB.

Vậy MAOB là tứ giác nội tiếp (dhnb).

2. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và MO. Chứng minh rằng MN2 = ND.NA.

Ta có: (angle MDN = angle ADC) (đối đỉnh), (angle ADC = angle ABC) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

( Rightarrow angle MDN = angle ABC).

Mà (angle ABC = angle ABO = angle AMO = angle AMN) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AO).

( Rightarrow angle MDN = angle AMN).

Xét (Delta MND) và (Delta ANM) có:

(begin{array}{l}angle ANM,,chungangle MDN = angle AMN,,left( {cmt} right)end{array})

$Rightarrow Delta MNDbacksim Delta ANM,,left( g.g right)$

( Rightarrow frac{{MN}}{{NA}} = frac{{ND}}{{MN}}) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) ( Rightarrow M{N^2} = ND.NA,,left( {dpcm} right)).

3. Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh ({left( {frac{{HA}}{{HD}}} right)^2} - frac{{AC}}{{HN}} = 1).

Xét (Delta MAD) và (Delta MCA) có:

(angle AMC) chung

(angle MAD = angle MCA) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD).

$Rightarrow Delta MADbacksim Delta MCA,,left( g.g right)$

( Rightarrow frac{{MA}}{{MC}} = frac{{MD}}{{MA}}) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

( Rightarrow M{A^2} = MC.MD) (1)

Ta có: (OA = OB,,left( { = R} right) Rightarrow O) thuộc trung trực của AB.

(MA = MB) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ( Rightarrow M) thuộc trung trực của AB.

( Rightarrow OM) là trung trực của AB ( Rightarrow OM bot AB) tại H.

Xét tam giác OAM vuông tại A có đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

(M{A^2} = MH.MO) (2)

Từ (1), (2) ( Rightarrow MC.MD = MH.MO Rightarrow frac{{MC}}{{MH}} = frac{{MO}}{{MD}}).

Xét (Delta MOC) và (Delta MDH) có:

(angle OMC) chung

(frac{{MC}}{{MH}} = frac{{MO}}{{MD}},,left( {cmt} right))

$Rightarrow Delta MOCbacksim Delta MDH,,left( g.g right)$

( Rightarrow angle MHD = angle MCO) (hai góc tương ứng)

Mà (angle MCO = angle DCB = angle DAB) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DB)

( Rightarrow angle MHD = angle DAB).

Mà (angle MHD + angle DHA = angle AHM = {90^0}).

( Rightarrow angle DAB + angle DHA = {90^0}) ( Rightarrow Delta ADH) vuông tại D (tam giác có tổng hai góc bằng ({90^0})).

( Rightarrow HD bot AN) tại D.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ADH có: (H{A^2} = A{D^2} + H{D^2}).

Biến đổi ({left( {frac{{HA}}{{HD}}} right)^2} - frac{{AC}}{{HN}} = 1)ta có:

(begin{array}{l}{left( {frac{{HA}}{{HD}}} right)^2} - frac{{AC}}{{HN}} = 1 Leftrightarrow frac{{A{D^2} + H{D^2}}}{{H{D^2}}} = 1 + frac{{AC}}{{HN}} Leftrightarrow frac{{A{D^2}}}{{H{D^2}}} + 1 = 1 + frac{{AC}}{{HN}} Leftrightarrow frac{{A{D^2}}}{{H{D^2}}} = frac{{AC}}{{HN}}end{array})

Xét tam giác AHN vuông tại H, có đường cao HD ta có: (H{D^2} = AD.DN) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

( Rightarrow frac{{A{D^2}}}{{H{D^2}}} = frac{{AC}}{{HN}} Leftrightarrow frac{{A{D^2}}}{{AD.DN}} = frac{{AC}}{{HN}} Rightarrow frac{{AD}}{{DN}} = frac{{AC}}{{HN}} Leftrightarrow frac{{AD}}{{AC}} = frac{{DN}}{{HN}}).

Xét (Delta ADC) và (Delta NDM) có:

(angle ADC = angle MDN) (đối đỉnh)

(angle BAC = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ( Rightarrow AC bot AB). Lại có (OM bot AB,,left( {cmt} right) Rightarrow OM//AC) (từ vuông góc đến song song) ( Rightarrow angle DAC = angle DNM) (so le trong)

$Rightarrow Delta ADCbacksim Delta NDM,,left( g.g right)$

( Rightarrow frac{{AD}}{{AC}} = frac{{DN}}{{NM}}) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Suy ra ({left( {frac{{HA}}{{HD}}} right)^2} - frac{{AC}}{{HN}} = 1 Leftrightarrow frac{{DN}}{{NM}} = frac{{DN}}{{HN}} Leftrightarrow NM = HN)

Do đó ta cần chứng minh (NM = HN).

Theo ý 2. ta có: (M{N^2} = ND.NA).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHN đường cao HD ta có: (N{H^2} = ND.NA).

Vậy (M{N^2} = N{H^2} Leftrightarrow MN = NH). Do đó ta có điều phải chứng minh ({left( {frac{{HA}}{{HD}}} right)^2} - frac{{AC}}{{HN}} = 1).

Câu 5 (VDC):

Cách giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

(frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} ge 2sqrt {frac{1}{{{a^2}}}.frac{1}{{{b^2}}}} = frac{2}{{ab}})

(ab le frac{{{{left( {a + b} right)}^2}}}{4})

( Rightarrow frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} ge frac{8}{{{{left( {a + b} right)}^2}}})

Khi đó ta có:

(M = frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + frac{{16}}{{{{(y + 4)}^2}}} + frac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + 2023)

(,,,,,,, = frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + frac{1}{{{{left( {frac{y}{4} + 1} right)}^2}}} + frac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + 2023)

(,,,,,,, ge frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + frac{8}{{{{left( {frac{y}{4} + 1 + z + 1} right)}^2}}} + 2023)

(,,,,,,, ge frac{{64}}{{{{left( {x + 3 + frac{y}{4} + 1 + z + 1} right)}^2}}} + 2023)

(,,,,,,, ge frac{{64}}{{{{left( {x + frac{y}{4} + z + 5} right)}^2}}} + 2023)

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

(4{x^2} + 4 ge 2sqrt {4{x^2}.4} = 8x)

({y^2} + 16 ge 2sqrt {{y^2}.16} = 8y)

(4{z^2} + 4 ge 2sqrt {4{z^2}.4} = 8z)

Suy ra: (8x + 8y + 8z le 4{x^2} + 4 + {y^2} + 16 + 4{z^2} + 4 = 4{x^2} + {y^2} + 4{z^2} + 24)

Mà: (4{x^2} + {y^2} + 4{z^2} le 6y)

(begin{array}{l} Rightarrow 8x + 8y + 8z le 6y + 24 Leftrightarrow 8x + 2y + 8z le 24 Leftrightarrow x + frac{y}{4} + z le 3end{array})

(begin{array}{l}M ge frac{{64}}{{{{left( {x + frac{y}{4} + z + 5} right)}^2}}} + 2023,,,,,, = frac{{64}}{{{{left( {3 + 5} right)}^2}}} + 2023 = 2024end{array})

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x = z = 1;y = 4)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2024 khi (x = z = 1;y = 4.)