Cho hình chóp (S cdot A B C D) có đáy là vuông cạnh (a). Biết (S

a) Đúng: Ta có: (left{begin{array}{l}B C perp S A(text { do } S A perp(A B C D)) B C perp A Bend{array} right.)

(Rightarrow B C perp(S A B) Rightarrow B C perp A H)

b) Đúng: (S B perp A H) nên (A H perp(S B C)) hay (d(A,(S B C))=A H).Tam giác (S A B) vuông tại (A) có đường cao (A H) nên

(dfrac{1}{A H^2}=dfrac{1}{A B^2}+dfrac{1}{S A^2})

(Rightarrow A H=dfrac{A B cdot S A}{sqrt{A B^2+S A^2}}=dfrac{a cdot a sqrt{3}}{sqrt{a^2+3 a^2}}=dfrac{a sqrt{3}}{2} .)

Vậy (d(A,(S B C))=A H=dfrac{a sqrt{3}}{2}).

c) Sai: Gọi (O) là tâm hình vuông (A B C D) thì (A O perp B D), ta lại có (S A perp B D)

Nên (B D perp(S A C)). ((*))

Kẻ đường cao (A E) của (triangle S A O) thì (A E perp B Dleft(right.) do ((*)).

Vậy (A E perp(S B D)) hay (d(A,(S B D))=A E).

Ta có: (A C=a sqrt{2}) (đường chéo hình vuông)

Suy ra (O A=frac{A C}{2}=frac{a sqrt{2}}{2}).

Tam giác (S A O) vuông tại (A) có:

(A E=dfrac{S A cdot A O}{sqrt{S A^2+A O^2}})

(=dfrac{a sqrt{3} cdot dfrac{a sqrt{2}}{2}}{sqrt{3 a^2+dfrac{2 a^2}{4}}})

(=dfrac{a sqrt{21}}{7}).

Vậy (d(A,(S B D))=A E=dfrac{a sqrt{21}}{7}).

d) Sai: Ta chứng minh được (A K perp(S C D)).

Khi đó: (left{begin{array}{l}S C perp A H S C perp A Kend{array} right.) (Rightarrow S C perp(A H K)).

Gọi (F=S C cap(A H K)) thì (S C perp A F).

Khi đó: (d(C,(A H K))=C F).

Ta có: (S C=sqrt{S A^2+A C^2}=sqrt{3 a^2+2 a^2}=a sqrt{5}).

Tam giác (S A C) vuông tại (A) có đường cao (A F) nên:

(C F . C S=A C^2 Rightarrow C F=dfrac{A C^2}{C S}=dfrac{2 a^2}{a sqrt{5}}=dfrac{2 a sqrt{5}}{5})

Vậy (mathrm{d}(C,(A H K))=C F=dfrac{2 a sqrt{5}}{5})