Cực tiểu, cực đại là gì? Cách tìm cực trị của hàm số - Toán 12

Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x):

- Tìm tập xác định.

- Tính đạo hàm f’(x) và tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0 hoặc tại đó f’(x) không xác định.

- Tính các giới hạn (nếu có).

Bước 2: Quan sát bảng biến thiên và kết luận:

Cách 1: Quan sát hướng đồ thị. Qua điểm x thuộc tập xác định mà đồ thị đổi hướng:

- Lên ( to ) xuống (trái sang phải): cực đại.

- Xuống ( to ) lên (trái sang phải): cực tiểu.

Cách 2: Quan sát dấu của f’(x). Qua điểm x thuộc tập xác định mà f’(x) đổi dấu:

- Dương (+) ( to ) âm (-): cực đại.

- Âm (-) ( to ) dương (+): cực tiểu.

Ví dụ minh hoạ:

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) (y = {x^3} - 12{rm{x}} + 8).

b) (y = 2{{rm{x}}^4} - 4{{rm{x}}^2} - 1).

c) (y = frac{{{x^2} - 2{rm{x}} - 2}}{{x + 1}}).

d) (y = - x + 1 - frac{9}{{x - 2}}).

Giải:

a) Hàm số có tập xác định là (mathbb{R}).

Ta có: (y' = 3{{rm{x}}^2} - 12); (y' = 0) khi (x = - 2,x = 2).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại (x = 2) và đạt cực đại tại (x = - 2).

b) Hàm số có tập xác định là (mathbb{R}).

Ta có: (y' = 8{{rm{x}}^3} - 8{rm{x}}).

(y' = 0) khi (x = 0,x = - 1,x = 1).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại (x = - 1) và (x = 1), đạt cực đại tại (x = 0).

c) Hàm số có tập xác định là (mathbb{R}backslash left{ { - 1} right}).

Ta có:

(y' = frac{{left( {{x^2} - 2x - 2} right)'.left( {x + 1} right) - left( {{x^2} - 2x - 2} right).left( {x + 1} right)'}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}} = frac{{left( {2{rm{x}} - 2} right)left( {x + 1} right) - left( {{x^2} - 2x - 2} right)}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}})

( = frac{{{x^2} + 2{rm{x}}}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}} = frac{{xleft( {{rm{x}} + 2} right)}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}}).

(y' = 0) khi (x = 0,x = - 2).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại (x = 0) và đạt cực đại tại (x = - 2).

d) Hàm số có tập xác định là (mathbb{R}backslash left{ 2 right}).

Ta có:

(y' = - 1 + frac{9}{{{{left( {x - 2} right)}^2}}} = frac{{ - {x^2} + 4{rm{x}} - 4 + 9}}{{{{left( {x - 2} right)}^2}}} = frac{{ - {x^2} + 4{rm{x}} + 5}}{{{{left( {x - 2} right)}^2}}}).

(y' = 0) khi (x = 5,x = - 1).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại (x = - 1) và đạt cực đại tại (x = 5).