Khái niệm và cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số - Toán 12

1) Hàm đa thức bậc ba (f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d) ((a ne 0)):

Bước 1: Tìm đạo hàm cấp hai f’’(x).

Bước 2: Giải phương trình f’’(x) = 0. Giả sử nghiệm là ({x_0}).

Bước 3: Kết luận tâm đối xứng có toạ độ (left( {{x_0};f({x_0})} right)).

Ví dụ minh hoạ:

a) Hàm số (y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1) có (y'' = 6x + 6 = 0 Leftrightarrow x = {rm{;}} - 1).

Thay x = -1 vào phương trình, được (y = {( - 1)^3} + 3{( - 1)^2} - 9( - 1) + 1 = 12).

Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (-1;12).

b) Hàm số (y = {x^3} - 3x + 1) có (y'' = 6x = 0 Leftrightarrow x = 0).

Thay x = 0 vào phương trình, được (y = {0^3} - 3.0 + 1 = 1).

Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (0;1).

2) Hàm phân thức bậc nhất (f(x) = frac{{ax + b}}{{cx + d}}) ((c ne 0)):

Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Đồ thị có tiệm cận đứng (x = {x_0}) và tiệm cận ngang (y = {y_0}) thì tâm đối xứng có toạ độ (left( {{x_0};{y_0}} right)).

Ví dụ minh hoạ:

a) Đồ thị hàm số (y = frac{{2x + 1}}{{x - 3}}) có tiệm cận đứng là x = 3, tiệm cận ngang là y = 2.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (3;2).

b) Đồ thị hàm số (y = frac{{4x + 1}}{{x - 2}}) có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 4.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (2;4).

3) Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất (f(x) = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}) ((a,m ne 0)):

Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

Đồ thị có tiệm cận đứng (x = {x_0}) và tiệm cận xiên (y = px + q) thì tâm đối xứng có toạ độ (left( {{x_0};p{x_0} + q} right)).

Ví dụ minh hoạ:

a) Đồ thị hàm số (y = frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 1}}) có tiệm cận đứng là x = -1, tiệm cận xiên là y = x - 3.

Thay x = -1 vào y = x - 3, được y = -1 - 3 = -4.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (-1;-4).

b) Đồ thị hàm số (y = frac{{3{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}}) có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = 3x + 4.

Thay x = 2 vào y = 3x + 4, được y = 3.2 + 4 = 10.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (2;10).